Применение дифференциала в приближенных вычислениях

Установленное приближенное равенство позволяет использовать дифференциал для приближенных вычислений значений функции.

Запишем приближенное равенство более подробно.

Так как , a dy=f , то f( или

f(,+ (4)

Пример 1.

Пользуясь понятием дифференциала, вычислить приближенно ln 1,01.

Решение. Число ln 1,01 является одним из значений функции y = ln x. Формула (4) в данном случае примет вид

Положим , тогда

Следовательно, ln(1.01)=ln(1+0.01) , что является очень хорошим приближением: табличное значение ln 1,01 = 0,0100.

Пример 2.

Пользуясь понятием дифференциала, вычислить приближенно . Оценить точность полученного результата.

Решение. Рассмотрим функцию . Её производная равна y = , а формула (4) примет вид

Здесь удобно предварительно представить под корнем 7=8-1 и вынести из под корня число 2,

приняв

= =2 -

Принимая табличное значение корня ,)абсолютная и относительная погрешности приближенного значения равны: