Понятие дифференциала

Пусть функция y = f (x) дифференцируема при некотором значении переменной x. Следователь-но, в точке x существует конечная производная .Тогда по определению предела функции разность является бесконечно малой величиной при . Выразив из этого равенства приращение функции, получим

(1)

(величина y не зависит от , т. е. остаётся постоянной при ).

Если y’ , то в правой части равенства (1) первое слагаемое линейно относительно . Поэтому при оно является бесконечно малой того же порядка малости, что и

. Второе слагаемое - бесконечно малая более высокого порядка малости, чем первое, так как их отношение стремится к нулю при .

Поэтому говорят, что первое слагаемое формулы (1) является главной, линейной относительно частью приращения функции; чем меньше , тем большую долю приращения составляет эта часть. Поэтому при малых значениях (и при y’ ) приращение функции можно приближенно заменить его главной частью y’ , т.е

(2)

Эту главную часть приращения функции называют дифференциалом данной функции в точке x и обозначают dy или df(x).

Следовательно, dy=y’ или df(x)=f’(x) (3)

Итак, дифференциал функции y = f(x) равен произведению её производной на приращение независимой переменной.

Геометрический смысл дифференциала.

Дифференциал функции y = f(x) равен приращению ординаты касательной, проведённой к графику этой функции в точке (x; y), при изменении x на величину .

Поскольку производная -- это угловой коэффициент касательной к графику функции при x= , то дифференциал - это приращение ординаты Y точки касательной

к графику функции y=f(x), когда абсцисса точки касательной получает приращение :

Рис.1Дифференциал равен приращению ординаты касательной

Примеры Найти дифференциалы функций:

1) y= 2) y= 3) y=lnx 4) y=ln()

Решение.

Применяя правила дифференцирования степенной и логарифмической функций,

находим:

1) dy=6 ; 2) dy=3 3) dy= ; 4) dy=

Свойства дифференциала

Дифференциал обладает свойствами, аналогичными свойствам производной:

dc=0 (С – постоянная величина)