Типовые примеры

Продолжим рассмотрение игры Семейный спор. В случае если игроки могут договариваться о совместных действиях, возникают новые ситуации в игре. Напомним матрицу игры.

Муж/Жена	Балет	Футбол
Балет	(2,5)	(0,0)
Футбол	(3,3)	(5,2)

Изобразим эту информацию на графике, откладывая выигрыши мужа по оси Ox, выигрыши жены – по оси Oy.

Точки O, A, B, C соответствуют чистым стратегиям. Отрезки, их соединяющие – смешанным стратегиям. Например, отрезок OA возникает при чередования с различными вероятностями стратегий, приводящих к исходам (0,0) и (5,2), т.е. если жена все время ходит на футбол, а муж – то на футбол, то на балет. Уже обсуждалось ранее, что для чистых стратегий точка B(3,3) – точкам равновесия. Также она возникает и из соображений доминирования. То есть эту точку каждый может себе гарантировать, не вступая в переговоры с партнером. Линии BE и BD показывают, чего может достичь игрок, не вступая в переговоры. Теперь обратим внимание на линию AC, расположенную справа-сверху, или, как говорят, северо-восточную границу области. Точки этой линии составляют так называемое Парето-оптимальное множество. Во-первых, они доминируют все остальные точки области, во-вторых, между собой они несравнимы. Напомним, что точка X(x₁,x₂) доминирует (лучше) точку (точки) Y(y₁,y₂), если .

Линии DE и DB вырезают на Парето-оптимальном множестве так называемое переговорное множество DE, т.е. те исходы, о которых партнерам реально стоит договариваться. Среди них выделяется точка Нэша N(n₁,n₂). Она является решением оптимизационной задачи , где (m₁,m₂) – уровни дохода, которые игроки могут обеспечить себе, не вступая в коалицию. В данном примере m₁= 3, m₂ = 3, имеем задачу:

Найти максимум выражения , при условии (уравнение линии AC). Можно перейти к одной переменной , подставить в функцию и получить , решить уравнение , откуда .

Итак, совместными действиями игроки могут получить результат (3,5; 3,5), что лучше их гарантированного результата без кооперации.

Для достижения этого результата следует решить уравнение

или

Итак, если муж и жена будут вместе ходить на футбол и балет с вероятностью 0,5, у каждого полезность будет выше, чем при индивидуальном выборе. Реализация этой вероятности 0,5 может быть самая разная. Например, договориться о четных и нечетных неделях, либо бросать монету перед выходом.