Матричная форма решения уравнений состояния динамических систем

Рассмотрим модель системы, описываемую матричным уравнением:

, (5.49)

Запишем матричную экспоненту в виде , а также воспользуемся ее инверсией . Заметим, что – единичная матрица. Так как: , то (5.17) можно записать:

, (5.50)

где – постоянная интегрирования. Умножим (5.18) слева на матричную экспоненту. Тогда

.

При значение интеграла равно нулю и, следовательно, . Вектор состояния

(5.51)

Матричную форму записи (5.19) мы будем неоднократно использовать в дальнейшем. Поэтому остановимся на рассмотрении некоторых деталей.

Если на систему не оказывается никаких внешних воздействий, то есть в любой момент времени вектор управления равен нулю, то интеграл также равен нулю. Тогда решение (5.19) вырождается и имеет вид:

(5.52)

Очевидно, переходный процесс в системе (5.20) может наблюдаться только в том случае, если хотя бы один из элементов вектора не равен нулю. Физическая интерпретация этого условия состоит в наличии запасов энергии в системе (кинетической и потенциальной) в момент . Если является матрицей Гурвица, то есть ее собственные значения содержат вещественные отрицательные части чисел, то вектор при стремится к нулю. Иначе говоря, по окончании переходного процесса система переходит из начального состояния в начало координат .

В приложении к электрическим цепям означает наличие напряжений на емкостях и токов через индуктивности в момент , которые, в свою очередь, характеризуют энергию электрического поля конденсаторов и магнитного поля индуктивных катушек. Второе слагаемое в (5.19), выраженное интегралом, характеризует влияние на поведение системы внешних воздействий в форме вектора управления , не равного нулю. Необходимо отметить, что интегрирование ведется только по переменной .

Особый интерес представляет режим, соответствующий . Например, если электрическая цепь подключается к источникам постоянных ЭДС и токов, то, как было показано в главе 4, вектор (в механических системах аналогичные режимы наблюдаются тогда, когда на систему воздействуют постоянные силы).

Уравнение (5.19) можно привести к виду:

(5.53)

Уравнение (5.21) целесообразно использовать для расчета переходных процессов, поскольку в алфавите MatLAB содержится матричная экспоненциальная функция . С помощью MatLAB можно также получить функцию обращения матрицы , функцию формирования единичной матрицы требуемой размерности , возвращающую квадратную единичную матрицу размерности . Иначе говоря, уравнение (5.21) решается без интегрирования дифференциальных уравнений, но только в тех случаях, когда является неособенной матрицей. Последнее ограничение является существенным.