Тема 7. Средние величины в статистике

Средняя величина является наиболее распространенным статистическим показателем, с помощью которого дается характеристика совокупности однотипных явлений по количественно варьирующему признаку. Она показывает уровень признака в расчете на единицу совокупности. С помощью средних проводится сравнение различных совокупностей по варьирующим признакам, изучаются закономерности развития явлений и процессов общественной жизни.

В статистике применяются два класса средних: степенные и структурные.

Наиболее часто из степенных средних в статистике применяются средняя арифметическая, средняя гармоническая, средняя геометрическая, средняя квадратическая и средняя кубическая.

Общая формула степенной средней имеет вид:

, (7.1)

где - среднее значение исследуемого явления;

- показатель степени средней;

- текущее значение (вариант) осредняемого признака;

- число признаков.

Изменение значения показателя степени средней () определяет вид средней величины:

Если =1, то получается средняя арифметическая;

Если =2, то получается средняя квадратическая;

Если =3, то получается средняя кубическая;

Если =-1, то получается средняя гармоническая;

Если =0, то получается средняя геометрическая..

Существует два условия применения средних величин:

1. Средние величины вычисляются в качественно-однородных совокупностях.

2. Средние величины вычисляются на основе массовых статистических данных.

К структурным средним относятся мода (наиболее часто встречающееся значение признака), медиана (варианта, делящая совокупность на две равные части), квартили (варианты, делящие совокупность на четыре равные части) и децили (варианты, делящие совокупность на десять равных частей).

Выбор вида средней в каждом конкретном случае определяется целью исследования и характером имеющихся исходных данных.

Рассмотрим методику исчисления средних величин.

Пример 1. Имеются следующие данные (в руб.) о месячной заработной плате 15 рабочих организации п/к: 14200, 14232, 14232, 14242, 14242, 14242, 14250, 14250, 14255, 14255, 14255, 14255, 14270, 14270, 14270.

Необходимо рассчитать среднюю заработную плату рабочего.

Для этого заработную плату, начисленную всем 15 рабочим, т.е. фонд заработной платы, следует разделить на число рабочих. Таким образом, для решения поставленной задачи по имеющимся данным необходимо воспользоваться формулой средней арифметической простой:

руб.

Имеющиеся данные можно предварительно сгруппировать, т.е. построить дискретный вариационный ряд. В этом ряду каждому значению признака (варианте) будет соответствовать частота, показывающая, сколько единиц совокупности обладает данным значением признака. Тогда исчисление среднего уровня заработной платы будет проводиться по формуле средней арифметической взвешенной:

(7.2)

Расчет средней арифметической взвешенной проведен в табл. 7.1.

Таблица 7.1

Исходные данные	Расчетные показатели
Уровень заработной платы, руб. x	Численность рабочих организации п/к, чел.f	Фонд заработной платы	Накопленные частоты
Итого

руб.

Средняя арифметическая в интервальном вариационном ряду.

Исходные данные могут быть представлены не только в виде дискретного, но и интервального вариационного ряда. Покажем расчет средней арифметической взвешенной на следующем условном примере 7.2 (табл. 7.2).

Таблица 7.2

Исходные данные	Расчетные показатели
Группы рабочих по уровню заработной платы, руб.	Численность рабочих, чел.	Середина интервала x	Произведение вариантов на частоты xf	Накопленные частоты
14200-14220
14220-14240
14240-14260
14260-14280
Итого		-		-

руб.

Средняя гармоническая. Если исходные данные таковы, что для каждой варианты известна не частота, а показатель (статистический вес), являющийся произведением варианты на соответствующую частоту, то средняя величина исчисляется по формуле средней гармонической взвешенной.

Пример 2. Пусть исходными данными для расчета средней заработной платы являются уровень заработной платы для каждой группы рабочих и начисленный им фонд заработной платы. Тогда расчетным показателем будет численность рабочих (см. табл. 7.3).

Таблица 7.3

Исходные данные	Расчетные показатели
Уровень заработной платы, руб. x	Фонд заработной платы, руб. F	Численность рабочих организации п/к, чел.
Итого

руб.

Структурные средние. В вариационном ряду с равными интервалами мода исчисляется по формуле:

, (7.3)

где - нижняя граница модального интервала;

- величина модального интервала;

- частота модального интервала;

- частота интервала, предшествующая модальному;

- частота интервала, следующего за модальным.

руб.,

т.е. в данной совокупности рабочих наиболее часто встречается заработная плата в размере 14247,3 руб.

Расчет медианы в интервальном вариационном ряду проводится по следующей формуле:

, (7.4)

где - нижняя граница медианного интервала;

- величина медианного интервала;

- сумма частот ряда;

- сумма накопленных частот, предшествующих медианному интервалу;

- частота медианного интервала.

Рассчитаем медиану по данным (табл. 7.3):

руб.

Таким образом, в данной совокупности половина рабочих организации потребительской кооперации получала заработную плату 14246 руб. и ниже.

Методика определения квартилей и децилей аналогична методике исчисления медианы.

Контрольные вопросы

1. Что понимается под средней величиной?

2. В чем смысл научно обоснованного использования средних величин?

3. Какие виды средних величин применяются в статистике? Какие средние величины используются чаще всего?

4. Как исчисляется средняя арифметическая простая и в каких случаях она применяется?

5. Как исчисляется средняя арифметическая взвешенная и в каких случаях она применяется?

6. Как исчисляется средняя арифметическая из вариационного ряда?

7. Для чего служит средняя гармоническая? Чем она отличается от средней арифметической?

8. Как исчисляется средняя гармоническая простая и в каких случаях она применяется?

9. Как исчисляется средняя гармоническая взвешенная и в каких случаях она применяется?

10. Какие существуют структурные средние?