Загальна постановка багатокритеріальної задачі оптимізації

Як вже було сказано вище, однією зі складностей при прийнятті рішень є наявність великого числа критеріїв, які не завжди погоджені між собою.

Це передбачає побудову відповідних математичних моделей і застосування математичних методів прийнятті рішень при багатьох критеріях.

У даному розділі ми розглядатимемо скінченновимірні багатокритеріальні задачі, тобто такі задачі в яких множина допустимих альтернатив X Ì E_m і заданий векторний критерій f (х) = (f₁ (х), … f_M (х)).

Множина X зазвичай виділяється з деякої ширшої множини D за допомогою спеціальних обмежень, які найчастіше подають у вигляді нерівностей, а саме:

,

де g_i, i = 1, 2, … k – числові функції, визначені на D, що складають вектор-функцію обмежень.

Залежно від структури множини Х (або D) і властивостей цільових функцій f_j (x) (а також g_i) для зручності дослідження виділяють різні класи багатокритеріальних задач. Якщо множина Х скінченна, то задача називається скінченною, якщо Х скінченна або ж лічена, то ‒ дискретною, якщо всі компоненти x_i є цілими числами – то цілочисельною. Відповідно визначаються булеві, а також лінійні, увігнуті та інші задачі багатокритеріальної оптимізації.

Ми розглядатимемо таку задачу.

Нехай задана множина допустимих альтернатив Х, властивості яких описуються сукупністю функцій цілі f = { f_i(x) }, i Î I, x Î X,де I = {1, 2, …, M }множина індексів. Вважатимемо, що m перших функцій цілі максимізуються, а інші (М – m) мінімізуються. Позначимо І ₁ множину індексів для яких функції цілі максимізуються, І ₁ = {1, 2, …, m }; І ₂ – множину індексів для яких функції цілі мінімізуються, І ₂ = { m+ 1, m+ 2, … M }. Тоді багатокритеріальна задачаможе бути записана у вигляді:

(3.1)