Поняття функції вибору. Класи функцій вибору

В реальних ситуаціях вибору на множини альтернатив Ω особа, що приймає рішення, обирає деяку альтернативу керуючись своєю особистою думкою щодо кращих альтернатив. У різних людей уявлення про одну і ту ж саму ситуацію може істотно різниться.

Розглянемо таку ситуацію вибору, в яких множини альтернатив Х є підмножинами Ω.

Позначимо множину альтернатив, яку виділено ОПР з множини Х, і встановимо зв’язки між множинами при різних множинах Х. Вибір здійснює одна ОПР.

Нехай Ω – множина всіх груп ВУЗу, Х – довільна підмножина Ω. (Наприклад, множина груп ІІІ-го курсу, множина груп факультету і т.п.) Нехай – найкраща група з множини груп Х. Незалежно від того, хто приймає рішення (обирає найкращу групу) природно вважати, що найкраща група ВУЗу буде найкращою групою свого курсу, свого факультету тощо.

Математично це можна записати так: якщо і , то .

Тобто всілякий вибір у конкретній ситуації можна вважати логічно обґрунтованим при відомих виборах в інших ситуаціях, які пов’язані з даною, оскільки множини виявляються залежними при різних Х. Для формалізації взаємної залежності використовують поняття функції вибору.

Функцією вибору називається відображення, яке ставить у відповідність кожній множині її підмножину .

будемо інтерпретувати як найбільш переважні альтернативи з Х.

В визначенні ніяких апріорних обмежень на функції вибору не накладається, зокрема не виключена можливість пустого вибору, тобто ситуації коли Æ.

Ця ситуація називається відмовою від вибору.

Прикладом, коли виникає відмова від вибору може бути ситуація, коли покупець уходить з магазину нічого не купивши.

В окремому випадку, коли подане відношення строгої переваги R на множині альтернатив, функцію вибору можна визначити такою рівністю:

.

П р и к л а д 2.15. Нехай на множині подане відношення переваги R:

.

Побудувати відповідну йому функцію вибору.

Розв’язування

Побудуємо відповідне даному відношенню відношення строгої переваги .

.

Тепер задамо функцію вибору за правилом . Для цього розглянемо всі можливі підмножини множини і визначимо максимальні елементи за звуженням відношення R на відповідні підмножини.

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

, , , , .

Існують й інші способи задавання функцій вибору.

За відношенням переваги ми можемо побудувати функцію вибору, але не для всякої функції вибору існує відповідне відношення переваги.

П р и к л а д 2.16. Функція вибору дана таким чином:

, , ,

, ,

, .

Вочевидь дві останні умови суперечать одна одній, тому відношення побудувати не можливо.

П р и к л а д 2.17. Функція вибору дана таким чином:

, , ,

, ,

, .

Відповідним даній функції буде відношення строгої переваги

.

Функції вибору зручно класифікувати за тими умовами, які за звичай використовують при їх вивченні.

Приклади таких умов наведені в таблиці 2.1.

Таблиця 2.1.

Класифікація функцій вибору

1. Умова наслідування.
Якщо , то . Сенс цієї умови в тому, що якщо розглянути вибір з довільної множини і вибір з деякої її підмножини, то всі альтернативи, які були обрані з вихідної множини і ввійшли до підмножини, що розглядається, будуть також обрані з цієї підмножини. Наприклад, якщо проводився міжнародний конкурс і переможцем став проект з Болгарії, то він повинен бути і серед переможців болгарського конкурсу.
2. Умова згоди.
Сенс цієї умови в тому, що альтернативи, які були обрані з кожної множини будуть обрані також і з їх об’єднання.
3. Умова незалежності від знехтуваних альтернатив.
Якщо , то . Сенс цієї умови в тому, що якщо розглянути довільну множину , яка містить всі альтернативи, обрані з Х, то вибір з буде співпадати з вибором з Х. Наприклад, якщо був проведений конкурс, в якому проект x не був включений до кращих, то в конкурсі у якому беруть участь всі ті проекти,що і в першому, за виключенням x, склад переможців не зміниться.
4. Умова Плотта – незалежності від вибору шляху.
Сенс умови Плотта в тому, щоб вибір з об’єднання виборів, які зроблені з кожної множини, співпадав із вибором із об’єднання виборів, які зроблені з кожної множини окремо. Якщо проводиться міжнародний конкурс, то це означає що можна спочатку відібрати переможців національних конкурсів, а потім проводити конкурс серед них.
5. Умова суматорності.
Ця умова означає, що вибір з об’єднання множин дорівнює об’єднанню виборів з кожної множини окремо. Наприклад, на районній дошці пошани, представлені люди, які обрані в різних організаціях.
6. Умова мультіплікаторності.
7. Умови монотонності.
Якщо , то   Тобто вибір з більш широкої множини буде ширшим.