Логическая равнозначность или эквивалентность

Эквивалентность - это сложное логическое выражение, которое является истинным тогда и только тогда, когда оба простых логических выражения имеют одинаковую истинность. Чаще всего импликация описывается символом .

Таблица истинности для операции логической равнозначности или эквивалентности, примет вид:

Порядок выполнения логических операций в сложном логическом выражении:

1. Инверсия;

2. Конъюнкция;

3. Дизъюнкция;

4. Импликация;

5. Эквивалентность.

Для работы с цифровыми схемами, чаще всего используются следующие функции:

1. Сложение по модулю 2 (Исключающее_ИЛИ, неравнозначность). Инверсия равнозначности.

Чаще всего функция «Исключающее_ИЛИ» обозначается как или, за рубежом имеет значение «XOR».

Элемент цифровых схем, служащий для обозначения функции функция «Исключающее_ИЛИ» имеет вид:

Таблица истинности для операции «Исключающее_ИЛИ», примет вид:

2. Инверсия функции конъюнкции И-НЕ (штрих Шеффера).

Элемент цифровых схем «И-НЕ» обозначается как , служит для обозначения функции функция «И-НЕ» имеет вид:

Таблица истинности для операции «И-НЕ», примет вид:

3. Инверсия функции конъюнкции Операция ИЛИ-НЕ (стрелка Пирса).

Элемент цифровых схем, служащий для обозначения функции функция «ИЛИ-НЕ» обозначается как и имеет вид:

Таблица истинности для операции «ИЛИ-НЕ», примет вид:

Указанные логические операции можно реализовать с помощью контактно-релейных схем и с помощью электронных схем. В настоящее время в подавляющем большинстве устройств, применяется электронные логические элементы, причем электронные логические элементы входят в состав микросхем. Имея в распоряжении логические элементы И, ИЛИ, НЕ, можно сконструировать цифровое электронное устройство любой сложности.

Система простых логических функций, на основе которой можно получить любую логическую функцию, называется функционально полной.

Функционально полными являются следующие системы:

1. - отрицание (НЕ).

- коньюнкция (И).

- дизьюнкция (ИЛИ).

2. - отрицание (НЕ).

- коньюнкция (И).

3. - отрицание (НЕ).

- дизьюнкция (ИЛИ).

4. – отрицание коньюнкции (И-НЕ).

5. – отрицание дизьюнкции (ИЛИ-НЕ).

Отсюда следует, что для построения логического устройства любой сложности достаточно иметь однотипные логические элементы, например «И», «НЕ» и «ИЛИ».

Логические элементы могут работать в режимах положительной и отрицательной логики. Для электронных логических элементов в режиме положительной логики логической единице соответствует высокий уровень напряжения, а логическому нулю - низкий уровень напряжения. В режиме отрицательной логики логической единице соответствует низкий уровень напряжения, а логическому нулю - высокий.

Для контактно-релейных схем в режиме положительной логики логической единице соответствует замкнутый контакт ключа или реле, а логическому нулю - разомкнутый. Светящийся индикатор (лампочка, светодиод) соответствует логической единице, а несветящийся - логическому нулю.

Логические элементы, реализующие для режима положительной логики операцию «И», для режима отрицательной логики выполняют операцию «ИЛИ», и наоборот. Так, например, микросхема, реализующая для положительной логики функции элемента «И-НЕ», будет выполнять для отрицательной логики функции элемента «ИЛИ-НЕ».

Как правило, паспортное обозначение логического элемента соответствует функции, реализуемой "положительной логикой". Логические элементы «И» и «ИЛИ», выпускаемые в составе микросхем, обычно имеют 2, 3, 4, 8 входов. В названии элемента первая цифра указывает число входов (2«И», 3«И», 4 «И», 8 «И»).

Вопросы для самопроверки:

1. Построить таблицы истинности для логических элементов «3И» и «4ИЛИ».

2. Построить таблицы истинности для элементов «2Исключающее_ИЛИ», «3ИЛИ-НЕ» и «3И-НЕ».

3. Собрать схему представленную на рисунке и построить для неё таблицу истинности:

Вопросы для самоконтроля

1. Какая система называется функционально полной?

2. Что такое таблица истинности? Приведите примеры.

3. Перечислите основные логические операции?

4. Напишите таблицы истинности для логических элементов «2И», «2ИЛИ», «2Исключающее_ИЛИ».

5. Какой порядок выполнения логических операций в сложном логическом выражении?