Общие сведения. Пусть имеется сложная система

Пусть имеется сложная система. При исследовании целевой функции у в области экстремума (стационарной области) модель первого порядка является уже недостаточной. Более подходящей моделью для аппроксима­ции локального участка функции отклика является регрессионная модель второго порядка

M{y}=b₀+åb_jx_j+åb_jlx_jx_l+åb_jjx_j², j,l=1..k, l<j (3.1)

где b₀,b_j,b_jl ,b_jj — коэффициенты регрессии.

Планы проведения эксперимента, необходимого для построения мо­дели второго порядка, отличаются от линейных планов тем, что факторы варьируются на нескольких (минимум на трех) уровнях. В связи с этим на практике используются центральные композиционные планы (ЦКП), со­стоящие из трех блоков, включающих:

1) ядро плана — точки Nф= 2^k полного или дробного факторного эксперимента Nф = 2 ^k-p

2) «звездные» точки N _а = 2 ^k;

3) нулевые (центральные) точки N ₀.

Общее число N точек ЦКП N = N ф + N _а + N ₀.

При построении планов используют различные критерии оптималь­ности планирования. Наиболее широко применяются ортогональные, ротатабельные и D-оптимальные планы.

При ортогональном планировании коэффициенты уравнения регрес­сии оцениваются независимо с минимальными дисперсиями. Причем фак­торы с незначимыми коэффициентами можно сразу отбрасывать, без пере­счета оставшихся значимых коэффициентов, как это необходимо делать при неортогональных планах.

Ротатабельные планы позволяют получать уравнения регрессии, предсказывающие значения функции отклика с одинаковой точностью во всех направлениях на одинаковом расстоянии от центра плана.

Точность оценивания коэффициентов регрессии характеризуется эл­липсоидом рассеивания их оценок. Планирование, при котором требуется, чтобы объем эллипсоида рассеяния оценок коэффициентов был мини­мальным, называется D-оптимальным.

В настоящей работе рассматривается ортогональное центральное композиционное планирование (ОЦКП). Критерием оптимальности плана является ортогональность столбцов матрицы планирования. В силу ортогональности планирования все оценки коэффициентов являются не­зависимыми друг от друга.

При ОЦКП к ядру N ф плана добавляют 2 k звездных точек с коор­динатами, включающими звездное плечо (так, при k= 2 добавляются четыре точки с координатами (±а,0),(0,±а), которые изображены на рис.3.1), и одна точка в центре плана.

Значения входных переменных, соответствующие композиционному плану второго порядка при k = 3, приведены в табл.3.1.

Таблица 3.1

Номер опыта	Х1	Х2	Х3	Примечания
	-1	-1	-1	Полный факторный план Nф
	+1	-1	-1
	-1	+1	-1
	+1	+1	-1
	-1	-1	+1
	+1	-1	+1
	-1	+1	+1
	+1	+1	+1
	+a			Звездные точки Na
	-a
		+a
		-a
			+a
			-a
				Центр плана N0

Величина a выбирается так, чтобы обеспечить ортогональность получаемого плана. В табл.3.2 приведены параметры ортогональных центральных композиционных планов для разного числа входных переменных.

Таблица 3.2

Размерность	Ядро плана	N	a	b	C0	C1	C2	C3
	22			0,6667	0,1111	0,1667	0,5	0,25
	23		1,215	0,73	0,0667	0,0913	0,229	0,1250
	24		1,414	0,8	0,04	0,05	0,125	0,0625
	25-1		1,547	0,77	0,0370	0,0481	0,087	0,0625
	26-1		1,722	0,843	0,222	0,0264	0,056	0,0312
	27-1		1,885	0,9	0,0127	0,0141	0,038	0,0156
	28-1		2,001	0,8898	0,0123	0,0139	0,031	0,0156

Формулы для расчета оценок коэффициентов уравнения регрессии имеют вид

, 1 £ i £ k;

, 1 £ i £ k;

(3.2)

, 1 £ i, l £ k, i<1;

.

Оценки дисперсий коэффициентов модели определяются по формулам

где D _вос — оценка дисперсий ошибок наблюдений (дисперсия воспроизводимости), для определения которой необходимо произвести q дополнительных наблюдений в выбранной точке (например, в центре плана):

, (3.3)

где — среднее значение выходной переменной, вычисленное по результатам этих наблюдений.

Проверка значимости коэффициентов регрессии проводится по t -критерию по изложенной в работе 1 методике с v = q - 1 степенями свободы:

Если какое-либо неравенство выполняется, то соответствующий коэффициент значим.

Найденные по формулам (3.1) параметры модели могут быть использованы только при подстановке в модель нормированных значений переменных (1.5). Для получения регрессионной модели вида (3.1), использующей значения входных переменных в натуральных единицах, необходимо произвести пересчет коэффициентов модели по формулам

где b — оценки коэффициентов модели в нормированной системе координат; а — оценки коэффициентов модели в абсолютной системе координат. Проверка адекватности модели проводится с помощью F-критерия Фишера:

F=D_ад/D_вос

где Dад — дисперсия адекватности, определяющая рассогласование результатов эксперимента у _i со значениями выходной переменной уi ^м, вычисленными по модели:

, (3.4)

где d— число коэффициентов модели.

Если F < F_Kp при заданном уровне значимости для числа степеней свободы числителя.v_aд = N-d и v_вос =q-l знаменателя, то гипотеза об адекватном описании объекта принимается.

Если модель неадекватна, то следует изменить интервалы варьирования переменных. Если и это не приводит к желаемым результатам, необходимо переходить к построению модели более высокого порядка.

Если полученная модель адекватна, то она используется для анализа поверхности отклика и поиска положения точки оптимума. Для определения координат экстремальной точки необходимо либо приравнять нулю первые частные производные полученного уравнения регрессии и решить данную систему линейных уравнений, либо воспользоваться имеющимися стандартными численными методами оптимизации функции многих пере­менных, используя уравнение регрессии в качестве целевой функции. Если найденная экстремальная точка находится в допустимой области, то в ней необходимо провести дополнительный эксперимент и сопоставить полученные результаты с величиной, вычисленной в этой же точке по модели, а также со значением функции отклика в центре плана.

Содержание отчета

Отчет должен содержать:

— задание;

— план эксперимента;

— полученную нелинейную модель;

— результаты проверки на значимость;

— результаты проверки на адекватность;

— результаты поиска экстремума с использованием модели;

— выводы по работе.

Контрольные вопросы

1. В каких случаях используется план второго порядка?

2. Как достигается ортогональность матрицы планирования при

ОЦКП?

3. Как определяются координаты звездных точек?

4. Как определяется общее количество опытов в ОЦКП?

5. Каким образом осуществляется преобразование переменных в

ОЦКП?

6. Каким образом проверяется значимость коэффициентов модели?

7. Как проверить адекватность модели?

Работа 4. РОТАТАБЕЛЬНОЕ ЦЕНТРАЛЬНОЕ КОМПОЗИЦИОННОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ

Цель работы — ознакомление с методом ротатабельного композиционного планирования и изучение особенностей его применения в экстремальных экспериментах.