Общие сведения. Метод крутого восхождения основан на использовании движения по градиенту в сторону возрастания выходной переменной у

Метод крутого восхождения основан на использовании движения по градиенту в сторону возрастания выходной переменной у.

Напомним, что вектор-градиент в k-факторном пространстве опреде­ляется соотношением

,

где (i=1..k) — единичные направляющие векторы (орты), распо­ложенные вдоль факторных осей; д у / д х _i — частная производная целе­вой функции по i-му фактору.

Для линейной регрессионной модели вида у = b₀ + b_lx_l +...+ b_kx_k коэффициенты bj являются компонентами вектора-градиента.

Таким образом, если коэффициент регрессии b_j умножить на интер­вал варьирования фактора Dх_i, то будет определено приращение коорди­наты x_i точки, лежащей на градиенте. Это положение для двумерного случая иллюстрируется на рис.2.1.

Расчет движения по градиенту осуществляется таким образом, чтобы от центра плана до границ области в направлении градиента получилось 8-10 шагов. Для этого необходимо:

а) определить составляющие градиента в реальном масштабе

l_I=b_iDx_i^~_, i=1,k

б) вычислить число шагов по каждой из переменных в сторону возрас­тания функции от центра плана х_io до границы области x_i^~Г в направ­лении движения х _i^~ _min или х _i^~ _max:

где t — масштабный коэффициент (первоначально t = 1);

в) определить минимальное число шагов в направлении градиента в допустимой области п= min n_i. Если оно неудовлетворительно, то мас­штабный коэффициент t необходимо скорректировать таким образом, чтобы получить число п в желаемом интервале (8-10);

г) величину шага по выбранной в п.«в» 7-й переменной принять за базовую lб а з = l_I tкон;

д) определить величину шага по всем переменным, обеспечивающую движение по градиенту в реальном масштабе:

, i=1..k;

е) определить координаты точек на i- м шаге в направлении градиента

, l=1,2,…,

и провести в них «мысленные» (по модели) и проверочные (реальные) опыты.

«Мысленные» опыты заключаются в получении предсказанных (рас­четных) значений отклика у ^м по полученному линейному уравнению регрессии. Они позволяют: 1) сокращать объем реальных опытов; 2) полу­чить представление о том, насколько хорошо регрессионные уравнения аппроксимируют реальную поверхность отклика, т.е. насколько расчет­ные значения у ^м отличаются от значений y, наблюдавшихся в реальных опытах.

Проделывая эксперименты в каждой точке (с выбранным шагом), построим зависимость функции отклика от номера шага (рис.2.2).

Найденная в результате движения по градиенту экстремальная точка принимается в качестве исходной (центр плана) для построения нового плана эксперимента.

Вокруг нее снова формируется ПФП (ДФП), проводится эксперимент, строится линейная модель, определяется новое направление движения в направлении градиента и повторяются все действия, обеспечивающие дви­жение в область экстремума функции отклика.

Для организации движения по градиенту можно также использовать методы оптимизации функции одной переменной (методы дихотомии, «золотого сечения», чисел Фибоначчи и др.).

Поисковое рабочее движение прекращают по достижении области экстремума. Признаком достижения экстремума является статистическая незначимость оценок b _i коэффициентов линейной регрессии, вычислен­ных по результатам ПФЭ (ДФЭ) вокруг очередной нулевой точки, либо выход на границу области допустимых значений факторов.

Содержание отчета

Отчет должен содержать:

—задание;

— матрицы планирования эксперимента;

— результаты эксперимента, оформленные в виде таблицы;

— график изменения функции отклика при движении по градиенту;

— выводы по работе.

Контрольные вопросы

1. В чем заключается процедура метода крутого восхождения?

2. В чем состоит роль мысленных опытов и как они проводятся?

3. Каким образом методом крутого восхождения можно исследовать поверхность с несколькими экстремумами?

4. Как определить расчетные составляющие рабочих шагов в реаль­ном масштабе в направлении градиента?

5. Когда заканчивается поисковое рабочее движение к области экстре­мума функции отклика?

Работа 3. ПЛАНИРОВАНИЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА.