Логит- и пробит- модели

Класс решаемых с помощью техники номинального регрессионного анализа задач может быть расширен за счет использования логистической регрессии, логит-моделей.

Линейное регрессионное уравнение чаще всего имеет следующий вид:

m = a + b₁X₁ + b₂X₂+: +b_kX_k.

Принято называть связующей функцией такую функцию g, для которой справедливо соотношение

g(m) = a + b₁x₁ + b₂x₂+: +b_kx_k.

Если g — тождественная функция (g(m) = m, identity link), то соотношение превращается в обычную регрессию. Если же g — это логарифм (log link), то мы получаем логлинейную модель:

log(m) = a + b₁x₁ + b₂x₂+: +b_kx_k.

Преимущество использования логлинейной модели в том, что она дает возможность свести изучение сложных взаимодействий между независимыми переменными (т. е. подбор таких произведений х, которые делают модель адекватной реальности) к поиску коэффициентов линейной зависимости (поскольку логарифм произведения равен сумме логарифмов). Особую важность для социолога имеет т. н. логит-связь, когда функция g является функцией вида:

_.

Эта модель играет большую роль, когда Y — дихотомическая переменная. Если р — доля единичных значений Y, а доля нулевых значений q = (1-р), то

_,

где функция g является логарифмом отношения преобладания.

Пусть у нас только один признак X. Тогда уравнение вида

называется логистической регрессионной функцией.

Не менее важна и т. н. линейная вероятностная модель

Р(X) = a + bх.

Если независимых переменных много, подобного рода уравнения совпадают с теми, которые обычно связываются с логлинейным анализом (там в качестве значений независимой переменной выступают частоты многомерной таблицы сопряженности).

Описанные модели являются очень полезными для социолога.