Доверительный интервал

Рассмотренные ранее оценки получили название точечных оценок. На практике широко используются интервальные оценки, для получения которых используется метод доверительных интервалов.

В методе доверительных интервалов указывает не одно(точечное) значение интересующего нас параметра, а целый интервал. Он строится на основе неравенства Чебышева:

Задаётся некоторое число 0 < α < 1 близкое к нулю, которое называется уровень значимости.

Параметр ε находится из неравенства:

, тогда:

Интервал называется доверительным интервалом с уровнем значимости α.

Доверяясь расчёту мы утверждаем, что неизвестная вероятность принадлежит указанному интервалу, а вероятность возможной ошибки имеющей место тогда, когда этот интервал не накрывает истинное значение α не превосходит уровня значимости α.

n = 1000, m/n = 0,6

При α = 0,1 (0,550; 0,650)

При α = 0,01 (0,442; 0,758)

Истинное значение вероятности Р мы незнаем, но можем утверждать, что первый интервал накрывает это значение с вероятностью не менее чем 0,9, а второй – 0,99.

Пример. Имеется некоторое предположение, гипотеза, о том, что неизвестная вероятность Р равна заданному число Р₀:

Н₀: р = р₀; (Р₀ = 0,5).

Эту гипотезу можно принять, а можно и отклонить посчитав её противоречащей известным статистическим данным.

Для принятия решения(проверки гипотезы) мы проделаем следующую процедуру:

Если Р₀Î(Р_*, Р^*) с α, то гипотезу принимаем(возможно здесь и ошибка, мы можем принять ложную гипотезу – такая ошибка первого рода).

Если Р₀Ï (Р_*, Р^*) с α, то гипотеза отвергается(здесь тоже можем совершить ошибку отклонить верную гипотезу – такая ошибка второго рода, вероятность такой ошибки заранее задаётся нами при построении доверительного интервала).

При наших предположениях, когда уровень значимости равен 0,1 в общем мы имеем Р₀Ï (0,550; 0,650). Эта гипотеза отвергается, при этом мы ошибаемся не более чем в 1 случае из 10.