Распределение χ2 Пирсона

Выборочная дисперсия так же является случайной величиной меняющейся от выборки к выборки.

1) М(Х) – известно;

2) М(Х) – не известно.

1) Имеется случайная величина Х, которая подчиняется нормальному закону с параметрами (m, σ²),

где: х_i(i = 1, 2, …, n) – независимые наблюдения над случайной величиной.

Для дисперсии мы выбираем вот такую оценку:

- несмещённая, состоятельная и эффективная оценка дисперсию генеральной совокупности.

Величина U_i является случайной величиной с параметрами (0;1).

Случайная величина представляющая собой сумму квадратов n независимых случайных величин, каждая из которых подчиняется нормальному закону распределения с параметрами (0;1) и независимых случайных величин с распределением χ² с к = n – степенями свободы.

Сама функция плотности вероятности f(χ²) имеет вид:

Эта функция зависит только от объёма выборки и не зависит ни от математического ожидания, ни от дисперсии, ни от х.

Имеются таблицы распределения χ² позволяющие вычислить вероятность события

,

где: к – число степеней свободы;

α – доверительная вероятность, которая задаётся самим исследователем.

2) Математическое ожидание неизвестно.

Когда случайная величина Х с параметрами (m, σ²) – неизвестны.

Для оценки дисперсии генеральной совокупности используется величина:

Случайная величина имеет распределение χ² с к = n – 1 степенями свободы.

Уменьшение степени свободы использована для получения среднего выборочного.