Решение. событие А – шар, извлеченный из второй урны, голубой;

Введем обозначения:

событие А – шар, извлеченный из второй урны, голубой;

гипотезы - из первой урны во вторую переложили два голубых шара;

- переложили два разноцветных шара;

- переложили два красных шара.

Вычислим вероятности гипотез и условные вероятности :

По формуле полной вероятности получим ответ на первый вопрос:

Чтобы ответить на второй вопрос, воспользуемся формулой Бейеса:

2. Производится три независимых выстрела с вероятностью попадания 0.4 в каждом. Найти вероятность того, что будет хотя бы 2 попадания.

Решение таких задач находятся по формуле Бернулли.

Если производится n независимых опытов (опыты называются независимыми, если вероятность исхода результата каждого опыта не зависит от того, какие исходы имели другие опыты) в одинаковых условиях, причем в каждом из них с вероятностью может появиться событие A, то вероятность того, что событие A произойдет в этих n опытах ровно m раз, выражается формулой Бернулли:

Это биномиальное распределение вероятностей.

Вероятность хотя бы одного появления события A в n независимых опытах в одинаковых условиях равна

.

Вероятность хотя бы одного появления события A в n независимых опытах в различных условиях равна .

Для любых условий опыта .

Вероятность того, что в n опытах событие А появится не менее раз, выражается формулой: .

Решение.

Искомая вероятность . Воспользуемся формулой Бернулли: