Кривые безразличия. Множество наборов товаров, обеспечивающих потребителю заданный уровень полезности (являющихся одинаково полезными для потребителя) называют кривой

Множество наборов товаров, обеспечивающих потребителю заданный уровень полезности (являющихся одинаково полезными для потребителя) называют кривой безразличия.

Рассмотрим наборы только из двух товаров x и y. (Товары x и y можно рассматривать как комбинированные товары.)

Отношения предпочтения, характерные для каждого индивида, отражают посредством кривой безразличия (рис. 4.7).

Рис. 4.7. Графики кривых безразличия

Кривая безразличияотражает множество точек, каждая из которых представляет собой такой набор из двух товаров, что потребителю безразлично, какой из этих наборов выбрать. Наборы А и В с точки зрения данного потребления равноценны и лежат на одной и той же кривой безразличия. Для нашего потребителя любой набор, лежащий на кривой II, предпочтительнее любого набора, лежащего на кривой I, и т.д.

В зависимости от функций полезности различают следующие типы кривых безразличия:

1. Функция полезности с полным взаимозамещением благ имеет вид:

u=ax + by, (4.11)

где a, b - параметры; u - полезность; x, y - товары.

Из функции полезности можно найти y:

и построить кривые безразличия линейного типа (рис. 4.8).

Рис. 4.8. Кривые безразличия линейного типа

2. Неоклассическая функция полезности имеет вид

(4.12)

где a + b = 1.

Чтобы построить кривые безразличия (рис. 4.9), необходимо найти y:

.

Рис. 4.9. Кривые безразличия неоклассического типа

3. Функции с полным взаимодополнением благ (при увеличении спроса на одно из двух благ растет спрос и на второе благо) имеют кривые безразличия в виде точки на пересечении двух прямых (рис. 4.10). Избыток одного блага не имеет значения. Полезность достигается лишь при определенной комбинации обоих благ:

(4.13)

Рис. 4.10. Кривые безразличия функций с полным взаимодополнением благ

Основным рабочим понятием порядковой теории полезности является предельная норма замещения (MRS - marginal rate of substitution).

Предельной нормой замещения блага x благом y (MRS_xy) называют количество блага y, которое должно быть сокращено в обмен на увеличение количества блага x на единицу, с тем чтобы уровень удовлетворения потребителя остался неизменным:

(4.14)

при условии, что u=const.

Пусть на пространстве товаров задана функция полезности u(x₁, …, x_n) и u*- выбранный потребителем уровень полезности, тогда кривой безразличия уровня называют множество наборов товаров

(4.15)

Очевидно, что семейство кривых безразличия представляет собой семейство линий уровня для функции полезности потребителя.

Для простоты будем предполагать, что в распоряжении потребителя имеются два вида товара:

x₁- количество единиц первого товара,

x₂- количество единиц второго товара.

Функция полезности потребителя u(x)=u(x₁, x₂).

Рассмотрим основные свойства кривых безразличия:

1. Кривые безразличия, соответствующие различным уровням полезности, не пересекаются и не имеют общих точек. Это утверждение непосредственно следует из определения кривой безразличия.

2. В случае, когда предпочтения потребителя обладают свойством ненасыщаемости, чем дальше на северо-восток на координатной плоскости располагается кривая безразличия, тем более высокому уровню полезности она соответствует.

3. Кривая безразличия представляет собой график убывающей функции.

Докажем это утверждение. Запишем уравнение кривой безразличия в виде:

(4.16)

Данное тождество задает x₂ как неявную функцию от аргумента x₁. Используя правило дифференцирования неявной функции, находим производную :

(4.17)

(4.18)

Поскольку из свойств функции полезности следует, что предельные полезности являются неотрицательными величинами, то, следовательно, в левой части равенства стоит неположительная величина. Это означает, что , т. е. зависимость x₂ от x₁ представляет собой убывающую функцию.

4. В случае стандартных предпочтений потребителя, кривая безразличия представляет собой график выпуклой вниз функции.

Вспомним, что функция y=f(x) называется выпуклой вниз, если для любых значений аргумента x₁ и x₂ имеет место следующее соотношение:

(4.19)

Достаточным условием выпуклости функции вниз является то, что .

Докажем утверждение. Снова запишем уравнение кривой безразличия в виде:

(4.20)

Снова будем рассматривать x₂ как неявную функцию от аргумента x₁. Найдем вторую производную :

Из свойств функции полезности следует, что: , , , .

Таким образом, мы получаем, что и кривая безразличия действительно представляет собой график выпуклой вниз функции.