Лекция: Виды подграфов

Пусть дан граф G = (X, A), где X = {х_i}, i = 1, 2,..., n – множество вершин, A = { a_i }, i = 1, 2,..., m – множество дуг.

Подграфом G'= (X', A') исходного графа G называется такой граф G', для которого X' X и A' A. Примеры подграфов показаны на рис. 6.1,б), а исходный граф – на рис. 6.1,а.

Рис. 6.1. Виды подграфов: а – исходный граф; б – подграфы; в – остовные подграфы; г – порожденные подграфы

Остовным подграфом G_p = (X, A_p) графа G называется граф, для которого A_p A. Таким образом, остовный подграф имеет то же самое множество вершин, что и исходный граф G, но множество дуг подграфа G_p является подмножеством множества дуг исходного графа. Примеры остовных подграфов приведены на рис. 6.1,в. Для графа, имеющего m дуг, можно построить k остовных подграфов

k=C¹ _m+C² _m+...+C^m-1 _m=2^m-1

Порожденным подграфом G_s =(X_s, Г_s) называется граф, для которого X_s X и для каждой вершины х_i X_s прямое отображение Г_s (х_i) = Г(х_i) X_s. Таким образом, порожденный подграф состоит из подмножества вершин X_s множества вершин исходного графа и всех таких дуг графа G, у которого конечные и начальные вершины принадлежат подмножеству X_s. Примеры порожденных подграфов приведены на рис. 6.1,г.

В качестве иллюстративного примера рассмотрим граф, вершины которого представляют сотрудников некоторого учреждения, а дуги – линии связи между сотрудниками. Тогда граф, представляющий только наиболее важные связи или каналы связи данного учреждения, является остовным подграфом; граф, который подробно описывает линии связи только какой-то части учреждения (например, отдела), является порожденным подграфом, а граф, который представляет только важные линии связи в пределах отдела, является просто подграфом.