Лекция: Типы графов

Рассматриваются типы графов такие как полный, симметрический, антисимметрический, двудольный, дерево, планарный и их возможные комбинации. Дается теорема о двудольности графов. Цель лекции: Дать представление о типах графов и их свойствах

Содержание

• Теорема о двудольности

Граф G = (X, A) называют полным, если для любой пары вершин х_i и х_j в X существует ребро (х_i, х_j) в неориентированном графе

G=(X,A)

т. е. для каждой пары вершин графа G должна существовать по крайней мере одна дуга, соединяющая их (рис. 5.1,а).

Граф G =(X, A)называется симметрическим, если в множестве дуг A для любой дуги (х_i, х_j) существует также противоположно ориентированная дуга (х_j, х_i) (рис. 5.1,б).

Рис. 5.1. а – полный граф; б – симметрический граф; в – антисимметрический граф; г – полный симметрический;

Антисимметрическим называется такой граф, для которого справедливо следующее условие: если дуга (х_i, х_j) A, то во множестве A нет противоположно ориентированной дуги, т. е. (х_j, х_i) A (рис. 5.1,в). Очевидно, что в антисимметрическом графе нет петель.

В качестве примера можно рассмотреть граф, являющийся моделью некоторой группы людей: вершины графа интерпретируют людей, а дуги – их взаимоотношения. Так, если в графе дуга, нарисованная от вершины х_i к вершине х_j, означает, что х_i является другом или родственником х_j, тогда данный граф должен быть симметрическим. Если дуга, направленная от х_i к х_j, означает, что вершина х_j подчинена вершине х_i, то такой граф должен быть антисимметрическим.

Комбинируя определения полного и симметрического графов и полного и антисимметрического графов, получили следующие определения:

• граф G =(X, A), в котором любая пара вершин (х_i, х_j) соединена двунаправленными дугами, называется полным симметрическим (рис. 5.1,г);
• граф G =(X, A), имеющий для каждой пары вершин (х_i, х_j) только одну дугу, называется полным антисимметрическим или турниром.

Связный граф, не имеющий циклов, либо граф, в котором каждая пара вершин соединена одной и только одной простой цепью, называется деревом (рис. 5.2, а, б).

Рис. 5.2. Граф типа “дерево”: а – неориентированное дерево, б – ориентированное дерево

Ориентированное дерево представляет собой ориентированный граф без циклов, в котором полустепень захода каждой вершины, за исключением одной (например, вершины х₁), равна 1, а полустепень захода вершины х₁ (называют корнем этого дерева) равна 0 (рис. 5.2,б).

Граф G =(X, A), который может быть изображен на плоскости или сфере без пересечений называется планарным (рис. 5.3).

Рис. 5.3. Планарный граф

На рис. 5.4 показаны непланарные графы. Эти два графа играют важную роль в теории планарных графов и известны как графы Куратовского.

Рис. 5.4. Непланарные графы

Неориентированный граф G = (X, A)называют двудольным, если множество его вершин X может быть разбито на такие два подмножества X^а и X^b, что каждое ребро имеет один конец в X^а, а другой в X^b (рис. 5.5,а).

Ориентированный граф G называется двудольным, если его неориентированный двойник – двудольный граф (рис. 5.5,б,в).

Двудольный граф G=(X^а X^b, A) называют полным, если для любых двух вершин х_i X^а и х_j X^b существует ребро (х_i,х_j) в G=(X,A) (рис. 5.5,г).

Рис. 5.5. Двудольные графы: а, б, в – двудольные графы; г – полный двудольный граф

Для доказательства двудольности графа существует теорема.