Частинка з нульовою масою спокою

На підставі формули (7.7) знаходимо, що енергія частинки з нульовою масою спокою () описується формулою:

W= . (8.1)

Ця формула узгоджується з (7.8) лише за умови, що її швидкість =c. Це означає, що частинка з нульовою масою спокою завжди рухається зі швидкістю світла c. Такою частинкою є світлова “частинка”, яку називають фотоном.

Згідно з квантовою теорією енергія фотона залежить від частот електромагнітних коливань:

, (8.2)

де ; h – стала Планка.

На підставі співвідношень (8.1) та (8.2) знаходимо імпульс фотона:

. (8.3)

Наявність імпульсу у фотоні була підтверджена Лебедєвим у 1960 р. Під час експериментального вимірювання тиску світла.

Згідно з формулами (7.4) та (8.2) фотон у гравітаційному полі повинен поводитись як частинка з гравітаційною масою:

. (8.4)

Наприклад, рухаючись поблизу земної поверхні вертикально вгору, фотон повинен витрачати частину своєї енергії на виконання роботи:

, (8.5)

де l – пройдений фотоном шлях, g – прискорення вільного падіння у гравітаційному полі Землі.

Початкова енергія фотона повинна змінитися на величину . Звідси знайдемо очікуване відносне зменшення частоти фотона

. (8.6)

Оскільки частота світлових коливань зворотно пропорційна довжині світлової хвилі (), то зменшення частоти фотона рівнозначне зміщенню фотона в довгохвильову (червону) область спектра. Тому ефект зменшення частоти світла при віддалені його від тіл з великою масою називають гравітаційним червоним зміщенням.

9. Перетворення енергії та імпульсу

Опираючись на формулу (7.7), знаходимо:

. (9.1)

Оскільки маса тіла інваріантна, то й ліва частина рівняння (9.1) також інваріантна. Самі ж величини W і не інваріантні, оскільки залежать від швидкості , яка не інваріантна. І тому варто знайти перетворення для енергії та імпульсу.

Для спрощення викладок розглянемо рух частинки в напрямку осі х. Якщо в системі швидкість частинки , то, згідно з (5.3),

. (9.2)

Згідно з (7.4) енергія цієї мікрочастинки

. (9.3)

Спочатку знайдемо величину , враховуючи (9.2)

. (9.4)

На підставі (9.3) та (9.4) отримуємо:

, тобто

, (9.5)

де – складова імпульсу частинки в напрямку .

Розглянувши рух частинки в довільному напрямку, враховуючи (7.4), (5.3) і теорему Піфагора для тривимірного простору , отримаємо для перетворення енергії ту саму формулу (9.5). Це означає, що за вибраної нами орієнтації осей систем і у перетворенні енергії (формула (9.5)) бере участь лише компонента імпульсу по осі .

Знайдемо формули перетворення компонент імпульсу. Спочатку розглянемо рух частинки в напрямку . Тоді буде лише одна складова імпульсу:

. (9.6)

Враховуючи (5.3) та (9.4), отримаємо:

, (9.7)

де – енергія частинки у системі .

Якщо частинка рухається в системі в напрямку зі швидкістю або в напрямку зі швидкістю , то її імпульс в системі буде:

і . (9.8)

Згідно з системою рівнянь (5.3) складові швидкості

; . (9.9)

Після незначних математичних перетворень (які пропонуємо студентам виконати самостійно) на підставі систем (9.8) та (9.9) знайдемо:

; . (9.10)

Якщо частинка рухається в довільному напрямку зі швидкістю відносно вибраної системи відліку (наприклад, ), то її енергія та координатні компоненти імпульсу описуються рівняннями:

; ; ; . (9.11)

Тут ; – власний час частинки. Оскільки і – інваріанти, то, враховуючи перетворення Лоренца (2.9), можна дійти висновку, що перетворюється подібно х; – подібно у; – подібно z; W – подібно t.

10. Релятивістський ефект Доплера

Акустичний ефект Доплера зумовлюється швидкостями руху приймача та джерела відносно пружного середовища, у якому поширюється пружна хвиля.

Ефект Доплера також спостерігається для світлових хвиль. Однак для поширення електромагнітних хвиль (до яких належать і світлові хвилі) якесь особливе середовище не потрібне, вони можуть поширюватися й у вакуумі. Тому ефект Доплера для світлових хвиль обумовлюється лише відносною швидкістю джерела та приймача.

Закріпимо приймач світла П на початку коор-динат системи , а джерело Дж – у довільно вибраній точці на осі в системі

(рис. 10.1). Розглянемо поперечну світлову хвилю, котра поширюється ліворуч від джерела. Рівняння цієї хвилі у системі матиме вигляд:

у¢

, (10.1)

а в системі

Рис 10.1

, (10.2)

де Е – напруженість електричного поля.

Скориставшись перетвореннями Лоренца (2.10), рівняння хвилі в системі можна отримати з рівняння (10.1):

.

Після незначних перетворень отримаємо:

. (10.3)

Рівняння (10.2) і (10.3) описують одну і ту саму хвилю в системі , тому, прирівнявши праві частини цих рівнянь (з огляду на те, що відповідно до перетворень Лоренца при і значення x і t теж дорівнюють нулю), знайдемо таке співвідношення:

. (10.4)

Переходячи від колової частоти ω до звичайної , отримаємо:

, (10.5)

де – дійсна частота, яку випромінює джерело світла; – частота, яку сприймає приймач. Рівняння (10.4) та (10.5) описують так званий подовжній ефект Доплера.

Крім подовжнього, для світлових хвиль існує також поперечний ефект Доплера. Він спостерігається у тому випадку, коли вектор відносної швидкості спрямований перпендикулярно прямій, що з’єднує джерело та приймач світлових хвиль.

У цьому випадку співвідношення частот і відповідно в системах та має вигляд:

(10.6)

Приклади розв’язання задач

1. З якою швидкістю рухається частинка, якщо її релятивістська маса втричі більша від маси спокою?

Розв’язок:

υ-?

На підставі (6,3) знаходимо, що 3=1/ ;

= c =0,943 c=2,83·10⁸()

2. У рухомій системі відліку розташовано стержень довжиною =1м під кутом = . Яку довжину l стержня та під яким кутом «зафіксує» спостерігач у -системі, якщо υ=0,8·с.

Розв’язок:

=1м = =0,8·с >

-? l -?

У системі l = , де згідно з (3.1)

l _x= l _0x ; l _y= l _0y.

Тоді

l = l _{0 м;}

.

3. Знайти релятивістську масу m електрона, який пройшов прискорюючу різницю потенціалів U =1 МВ.

|e |=1.6·10-19 Кл U =106 В m 0=9.1·10-31кг

m -?

Розв’язок:

Енергія електрона буде: W = mc ²= eU + m ₀ c ².

Тоді m = кг.

4. Власний час мюона τ₀=2 мкс. Від точки народження до точки розпаду у лабораторній системі відліку він пролетів відстань l = 6 км. Яку швидкість мав мюон?

τ0=2·10-6с l =6·103 м

-?

Розв’язок:

l = ·τ, де τ= (див.(3.2)).

Тоді l= ; ²= ; = =

= 2,985^. 10⁸ м/с = 0,995 c.

5. Яку швидкість має релятивістська частинка, кінетична енергія якої 500 МеВ, а імпульс 865 МеВ/с, де с – швидкість світла у вакуумі?

Розв’язок:

=500 МеВ p =865 МеВ/с

-?

= = (1)

(2)

(3)

Із (1), (2) та (3) знаходимо:

= ; = =0,87·c; =2,6·10⁸ м/с.

6. Релятивістська маса протона в 1,5 разу більша від маси спокою. Знайти повну та кінетичну енергію протона.

Розв’язок:

=1,5

-? -?

= =1,5 =1,5·938 МеВ=1407 МеВ=0,225 нДж

= =0,5 =469 МеВ=0,075 нДж.

7. Яку швидкість має електрон, якщо його кінетична енергія дорівнює 1,53 МеВ?

Розв’язок:

=1,53 МеВ

-?

=0,51 МеВ; = + =4

= ; ; = c =0,968 c =2,9·10⁸ м/с.

8. Фотонна ракета рухається відносно Землі зі швидкістю 0,6 с (с –швидкість світла у вакуумі). У скільки разів сповільниться плин часу в ракеті з точки зору земного спостерігача?

Розв’язок:

=0,6 с

τ /τ0-?

Згідно з (3.2)

9. Повна енергія тіла збільшилася на ∆ =1 Дж. Як при цьому змінилася маса тіла?

Розв’язок:

∆ =1 Дж

∆ -?

Згідно з (7.10) знаходимо, що =11·10^-15 г=11фг

10. Джерело випромінює світло з довжиною хвилі λ₀=720 нм. Яку довжину хвилі «фіксуватиме» приймач, котрий рухається відносно джерела зі швидкістю =0,1 с (с – швидкість світла у вакуумі)?

Розв’язок:

λ0=720нм =0,1 с

λ-?

Згідно з (10.6) і ; знаходимо, що

нм.

Література

1. Иродов И.Е. Механика. М.,С–П.; Физматлит, 2000.

2. Кучерук І. М., Горбачук І. Т., Луцик П. П.: Загальний курс фізики. Т.1. – К.; Техніка, 1999.

3. Савельев И.В. Курс общей физики Т.1 – М.; Наука, 1971.

4. Савельев И.В. Курс общей физики. Т. 1. – М.; Наука, 1977.

5. Угаров В.А. Специальная теория относительности. М.; Наука, 1969.

6. Яворский Б.М., Детлаф А.А. Курс физики Т.3. – М.; Высшая школа, 1972.

Зміст

Вступ.......................................................................................................... 3

1. Постулати Ейнштейна. Спеціальна теорія відносності........................ 4

2. Перетворення Лоренца............................................................................. 6

3. Висновки з перетворень Лоренца............................................................ 9

3.1. довжина тіл у різних інерціальних системах відліку...................... 9

3.2. тривалість процесів у різних інерціальних системах відліку....... 10

3.3. одночасність подій у різних інерціальних системах відліку........ 10

4. Інтервал між двома подіями.................................................................... 11

5. Перетворення і додавання швидкостей.................................................. 14

6. Релятивістське рівняння для маси та імпульсу......................................15

7. Релятивістське рівняння для енергії. Взаємозв’язок маси та енергії...16

8. Частинка з нульовою масою спокою...................................................... 17

9. Перетворення енергії та імпульсу.......................................................... 18

10. Релятивістський ефект Доплера............................................................20

Приклади розв’язання задач................................................................... 21

Література..................................................................................................25