 |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
Смешанное произведение векторов в координатной форме
|
|
(см. (24.9)и (26.1))
Рассмотрим 
Последнее равенство получается разложением определителя 
по его третей строке.
Значит: 
(28.1)
Следствие: Определитель третьего порядка равен нулю, тогда и только тогда, когда его строки линейно зависимы.
-коллинеарные и линейно зависимые.
Свойства же 1),2),3) смешанного произведения (см. §27 п. 27.3) теперь легко следует из свойств 2),4) и 7) определителя третьего порядка(см. §1, п. 1.3)
Вопрос
А)
Уравнение плоскости по точке и нормали
Определение 36.1. Плоскостью будем называть геометрическое место точек, такое что, при некотором ненулевом векторе 
для всех точек 
и 
из данного множества вектор 
ортогонален заданному вектору.
Определение 36.2. Вектор , заданный в определении 36.1, называется нормалью (или нормальным вектором) к заданной плоскости.
(Определение 36.1 геометрически означает, что если прямая линия, имеющая направляющий вектор, перпендикулярный плоскости 
, то она ортогональна любой прямой, лежащей в этой плоскости.)
Получим общее уравнение плоскости.
Пусть нормаль 
. Так как 
, то
(36.1)
Положим, 
- некоторая точка плоскости. Тогда для любой точки 
из плоскости вектор 
, по определению 36.1, ортогонален вектору , т.е. их скалярное произведение
(36.2)
Выписывая равенство (36.2) покоординатно (из §21 вектор 
, из равенства (24.9) имеем:
(36.3)
Раскрывая скобки в равенстве (36.3) и обозначив за 
,
получим:
(36.4)
С условием 
(36.1)
Мы показали, что координаты всех точек любой плоскости удовлетворяют некоторому линейному уравнению (36.4) с условием (36.1)
Покажем обратное, т.е. если координаты всех точек некоторого множества удовлетворяют линейном уравнению (36.4) с условием (36.1) то это множество является плоскостью.
Отметим, что данное множество π≠Ø, ибо если 
(см.(36.1)) то точка с координатами 
удовлетворяет уравнению (36.4)
Тогда пусть и - произвольные точки множества , т.е. их координаты удовлетворяют (36.4) и следующему уравнению (для точки )
(36.5)
Вычитая из уравнения (36.4) равенство (36.5), получим формулу (36.3), что означает, что вектора и (из условия (36.1)), следует,что вектор ) удовлетворяет равенству (36.2), т.е они ортогональны. Поэтому выполняются все условия определения 36.1, т.е. множество , координаты всех точек которого удовлетворяют некоторому линейному уравнению (36.4) с условием (36.1), является плоскостью.
Определение 36.4. Поэтому уравнение (36.4) с условием (36.1) называется общим уравнением плоскости.
Б)
Дата публикования: 2014-11-04; Прочитано: 337 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!
