Схеми Рунге-Кутта другого порядку

Невисокий ступінь точності методу Ейлера визначається перш за все тим, що залишковий член формули (8.4) . Зажадаємо, щоб . За формулою Тейлора

,

де залишковий член

. (8.9)

Рівність (8.9) справедлива, якщо у'’’(x) обмежена на . З (8.1) випливає

.

Тут треба обчислювати частинні похідні функції f(x,y), що з причин, зазначених раніше, небажано. Щоб уникнути диференціювання, замінимо виразом

,

де - деякі параметри. Тоді, якщо у формулі (8.9) відкинути залишок r, одержимо

,

або , (8.10)

де ; .

Параметри виберемо так, щоб розкладання точного розв’язку задачі (8.1)- (8.2) у вузлі і його наближення , що обчислюється за формулою (8.10), у ряди за степенями , збігалися з точністю до нескінченно малої найбільш високого порядку щодо .

Для одержання точного розв’язку використовуємо формулу (8.9)

,

аналогічно для наближеного розв’язку

+

.

Припускаючи, що , і порівнюючи члени при однакових степенях , одержимо

Для визначення чотирьох невідомих параметрів маємо три рівняння. Виразимо через інші параметри: .

Підставляючи ці значення у (8.10), одержимо однопараметричне сімейство двочленних схем Рунге-Кутта:

(8.11)

Відзначимо, що вибрати параметр так, щоб збігалися коефіцієнти у формулі Тейлора при , неможливо.

Формула (8.11) завдяки своїй досить великій точності широко використовується в чисельних розрахунках, при цьому найчастіше беруть або , або .

Підставляючи в (8.11) , одержимо розрахункову формулу

, (8.12)

відому як формулу вдосконаленого методу Ейлера.

При використанні даного методу спочатку за формулою (8.5) обчислюємо наближене значення розв’язку при . Після цього в знайденій точці визначаємо нахил інтегральної кривої: , а потім знаходимо значення

.

Покладаючи в (8.11) =0,5, одержимо

(8.13)

При використанні формули (8.13) спочатку обчислюється за методом Ейлера наближене значення , потім нахил інтегральної кривої в новій точці (рис. 8.4) Після цього визначається уточнене значення

. (8.14)

Розрахункова схема (8.13) або (8.14) називається методом Ейлера-Коші, або обчислювальним правилом типу предиктор-коректор.

Для схеми (8.14) можна довести, що якщо f(x,y) неперервна й обмежена разом зі своїми другими похідними, то розв’язок, отриманий за схемою (8.11) при будь-якому і при , рівномірно збігається до точного розв’язку із сумарною похибкою . Отже, схема (8.11) має другий порядок точності.