Метод Рунге-Ромберга

Загальна ідея методу така: маємо деяку наближену формулу (х,к) для обчислення величини z (х) за її значеннями на рівномірній сітці з кроком h, а залишковий член цієї формули

. (6.14)

Наприклад, , —задана функція. Нехай , ,

,

. Тут p = 2. Якщо скористатися тією самою наближеною формулою для обчислення значення z в точці х, але використовуючи сітку з кроком rh, дістанемо

(6.15)

Віднявши (6.14) від (6.15), дістанемо першу формулу Рунге для оцінки похибки

. (6.16)

Перший доданок у (6.16) є головним членом похибки, тобто розрахунок на другій сітці дає змогу оцінити похибки на першій сітці з точністю до членів вищого порядку. Виключаючи за допомогою (6.16) величину з (6.14), дістанемо другу формулу Рунге

, (6.17)

яка дає результат з вищим порядком точності, ніж (6.14). Іноді уточненнярезультату за формулою (6.17) називають уточненням за Річардсоном. Розглянемо приклади застосування описаного вище процесу для підвищення точності в задачі чисельного диференціювання.

Приклад 1 Нехай функція задана таблицею. Обчислити у' (3).

	0,000 0,301 0,478 0,602 0,699

Розв’язання. Скориставшись формулою при , дістанемо . Збільшуючи крок удвічі (), дістанемо .

За формулою (6.16) при р = 2 , що лише на 2% відрізняється від шуканого значення у' (3)= 0,145.

Приклад 2 За допомогою методу Рунге вивести формулу чисельного диференціювання порядку з формули більш низького порядку .

Розв’язання. Маємо

, .

Порядок точності цих формул , а коефіцієнт збільшення кроку , тому уточнення за методом Рунге дає формулу

.

Як бачимо, для обчислення результату більш високого порядку точності не обов'язково використовувати безпосередньо формули високого порядку точності; можна виконати обчислення за простими формулами низької точності на різних сітках і потім уточнити результат за методом Рунге. Такий спосіб має перевагу ще й тому, що величина поправки (6.16) дає апостеріорну оцінку точності.

Метод Рунге узагальнюється на довільну кількість сіток.

Приклад 3 За допомогою розвинення в ряд Тейлора для функції і дістаємо

. !

, . (6.18)

Приклад 4 Для односторонньої різницевої похідної при , маємо

, !, .

Нехай розрахунки виконано на різних сітках . Тоді із залишкового члена (6.18) можна вилучити складових. Для цього перепишемо (6.18) у вигляді

, , .

Це система лінійних рівнянь відносно величин і , . Використавши формули Крамера, дістанемо уточнений розв'язок за формулою Ромберга

, (6.19)

де .

Ця формула виражає через обчислені з точністю до величини з більш високою точністю (тобто розрахунок на кожній новій сітці дає змогу підвищити порядок точності на одиницю). Розкладаючи визначник за першим стовпчиком, формулу для можна записати також у вигляді ,

де .

Функції мають, очевидно, такі дві властивості:

а) , - символ Кронекера;

б) - дійсні коефіцієнти, тобто є многочленами від . Тому функція

(6.20)

є інтерполюючою функцією для ( - дійсні коефіцієнти), а величина

є значенням цієї функції при , причому не належить найменшому інтервалу , що охоплює всі точки . З цієї причини у випадку методу Рунге - Ромберга говорять також про екстраполяцію. Вживають також терміни «екстраполяція за Річардсоном», «екстраполяція до нуля», «екстраполяція до кроку нуль».

Оскільки система функцій не при всіх і не на довільному інтервалі буде системою Чебишева, то інтерполяційна функція (6.20)існує не для будь-якої послідовності . Але для послідовностей, які найчастіше трапляються на практиці, а саме:

а) (послідовність Рунге - Ромберга);

б) можна довести, що , і тим самим існування многочлена Р(х) гарантується.