Інтерполювання за Ньютоном 4 страница

Побудувати природний інтерполяційний кубічний сплайн дефекту 1.

31 Відомо, що апроксимуюча функція має вигляд , де a й b – невідомі параметри. Використовуючи метод найменших квадратів, визначити a й b, якщо відомо таблицю значень функції:

	0.1	0.2	0.5
	10.22	5.14	2.76

32 Вивести систему рівнянь для визначення коефіцієнтів a й b функції , що здійснює середньоквадратичну апроксимацію таблично заданої функції y(x) в n +1 точках.

33 Функція наближається інтерполяційним многочленом за значеннями в точках x =0, , . Оцінити похибку інтерполяції на відрізку .

34 З яким кроком варто задати таблицю логарифмів на відрізку [1,10], щоб при квадратичній інтерполяції значення в проміжній точці відновлювалося з похибкою 0.001?

Розділ 6

Чисельне диференціювання

Чисельне диференціювання застосовується, якщо функцію f (x) важко чи неможливо продиференціювати, наприклад, якщо вона задана таблично. Воно також необхідне при розв’язанні диференціальних рівнянь за допомогою різницевих методів. Якщо маємо явний вигляд функції, то вираз для похідної часто виявляється досить складним і бажано його замінити більш простим. Якщо ж функція задана тільки в деяких точках (таблично), то одержати явний вигляд її похідних взагалі неможливо. У цих ситуаціях виникає необхідність наближеного (чисельного) диференціювання.

При чисельному диференціюванні функцію f (x) апроксимують функцією , що легко обчислюється, і вважають, що у'(x)= . При цьому можна використовувати різні способи апроксимації. Розглянемо найпростіший спосіб – апроксимацію інтерполяційним многочленом Ньютона.

Щоб побудувати формули чисельного диференціювання, задану на відрізку [a; b ] функцію замінюють відповідним інтерполяційним многочленом Р(х). Tоді

f(x)=P(x) + R(x;f), (6.1)

де R(x;f) — залишковий член інтерполяційної формули. Якщо функція , то, диференціюючи (6.1), знаходимо

f'(х) =Р'(х) + R'(x,f),

f'' (х) =Р''(х) + R'' (x,f),

……………………….

f^(k)(x)=P^(k)(x)+R^(k)(x;f).

Звідси отримуємо наближення

f' (x) ≈ P'(x), f''(x) ≈ Р''(х),...., f^(k)(x)= P^(k)(x), (6.2)

Тоді залишкові члени r_i(х) (i =1,2,..., k) формул чисельного диференціювання (6.2 ) дорівнюватимуть похідним від залишкового члена інтерполяційної формули (6.1),тобто

r_i(х)= f^(і)(х)- Р^(і)(х). (6.3)

Варто зазначити, що з малості залишкового члена інтерполяційної формули R(x;f) зовсім не випливає малість залишкових членів похідних (похибки чисельного диференціювання) r_i(х), бо похідні від малих функцій можуть бути досить великими. Наприклад, функції y₁(x)=f(x) i y₂(х)= f(x) + для великих значень n можуть відрізнятися між собою як завгодно мало

Але похідні від них для деяких значень х i великих значень п можуть значно відрізнятися між собою:

,

Звідси бачимо, що не існує неперервної залежності значень похідної від значень функції. Тому задача чисельного диференціювання, загалом кажучи, - менш точна операція порівняно з інтерполюванням і є некоректною задачею.

Рис. – 6.1.

На рис. 6.1 в точці x₁ ординати функції f i многочлена Р однакові, проте кутові коефіцієнти дотичних значно відрізняються.

Якщо інтерполяційний многочлен Р на певній ділянці з достатньою точністю наближає функцію f, а сама функція f досить гладка i змінюється плавно на цій ділянці, то можна сподіватися, що при досить малому кроці інтерполювання похідні інтерполяційного многочлена також мало відрізнятимуться від похідних функції f. Проте не варто забувати, що зі зростанням порядку похідної точність чисельного диференціювання здебільшого різко спадає. Тому на практиці формули чисельного диференціювання для похідних, вищих від другого порядку, застосовують досить рідко.

Отже, функцію треба продиференціювати кілька разів і знайти ці похідні в деякій точці.

6.1 Формули чисельного диференціювання

Розглянемо найпростіші формули чисельного диференціювання, що виводяться зазначеним способом.

Зупинимося на функції, що задана в рівновіддалених вузлах . Її значення і значення похідних у вузлах будемо позначати

Нехай функція задана в двох точках і її значеннями є

Побудуємо інтерполяційний многочлен першого степеня Похідна

Похідну функції в точці приблизно заміняємо похідною інтерполяційного многочлена

(6.4)

Величина називається першою різницевою похідною.

Нехай тепер задана в трьох точках Інтерполяційний многочлен Ньютона другого степеня має вигляд

Тоді

Одержуємо наближену формулу

(6.5)

Величина називається центральною різницевою похідною. Нарешті, для другої похідної

одержуємо наближену формулу

(6.6)

Величина називається другою різницевою похідною.

Формули (6.4)-(6.6) називаються формулами чисельного диференціювання.

Вважаючи функцію достатнє число разів неперервно диференційованою, одержимо похибки наближених формул (6.4)-(6.6). Надалі нам знадобляться такі леми.

Лема 1 Нехай довільні точки, Тоді існує така точка що

Доведення. Очевидна нерівність

За теоремою Больцано-Коши про проміжні значення неперервної функції на замкненому відрізку, вона набуває всіх значень між і Значить, існує така точка що стверджує зазначену в лемі рівність.

Лема 2

1 Припустимо, що Тоді існує така точка , що

(6.7)

2 Якщо то є така точка , що

(6.8)

3 Коли то є точка така, що

(6.9)

Доведення. Розглянемо розкладання Доведення. За формулою Тейлора

звідки випливає (6.4). Якщо то за формулою Тейлора

(6.10)

де

Підставимо (6.10) у вираз Одержимо

Заміняючи відповідно до леми 1

одержуємо

Звідки і випливає (6.9). Рівність (6.8) доводиться аналогічно. Формули (6.4)-(6.6) називаються формулами чисельного диференціювання із залишковими членами.

Похибки формул (6.4)-(6.6) оцінюються за допомогою наступних нерівностей, що випливають із співвідношень (6.7)-(6.9):

Вважають, що похибка формули (6.4) має перший порядок відносно , а похибка формул (6.5) і (6.6) другого порядку відносно (чи порядку ). Також говорять, що формула чисельного диференціювання (6.4) першого порядку точності (відносно ), а формули (6.5) і (6.6) мають другий порядок точності.

Зазначеним способом можна одержувати формули чисельного диференціювання для старших похідних і для більшої кількості вузлів інтерполяції.

Для вибору оптимального кроку припустимо, що границя абсолютної похибки при обчисленні функції в кожній точці задовольняє нерівність

(6.11)

Нехай у деякому околі точки похідні, через які виражаються залишкові члени у формулах (6.8), (6.9), неперервні і задовольняють нерівності

(6.12)

де - деякі числа. Тоді повна похибка формул (6.5), (6.6) (без урахування похибок округлення) відповідно до (6.8), (6.9), (6.11), (6.12) не перевершує відповідно величин

Мінімізація за цих величин приводить до таких значень кроків: при цьому

(6.13)

Якщо при обраному для будь-якої з формул (6.5), (6.6) значенні відрізок не виходить за окіл точки , у якому виконується нерівність (6.12), то знайдене є оптимальним і повна похибка чисельного диференціювання оцінюється відповідною величиною (6.13).

6.2 Дослідження точності чисельного диференціювання

Дослідження точності отриманих виразів при чисельних розрахунках зручно робити за допомогою апостеріорної оцінки, за швидкістю спадання членів відповідного ряду Тейлора. Якщо крок сітки досить малий, то похибка близька до першого відкинутого члена.

У такий спосіб порядок точності результату відносно кроку сітки дорівнює числу залишених членів ряду, або, іншими словами, він дорівнює числу вузлів інтерполяції мінус порядок похідної. Тому мінімальне число вузлів необхідне для обчислення m -ої похідної, дорівнює m+1, воно забезпечує перший порядок точності.

Ці висновки відповідають принципу: при почленному диференціюванні ряду швидкість його збіжності зменшується.

Якщо врахувати погіршення збіжності ряду при диференціюванні, то можна зробити висновок: навіть якщо функція задана добре складеною таблицею на досить докладній сітці, то практично чисельним диференціюванням можна визначити першу і другу похідні, а третю і четверту – лише з великою похибкою. Похідні більш високого порядку рідко вдається обчислити із задовільною точністю.