Гомоморфизмы

Алгебры с различными типами имеют различное строение. Пусть A = и B = - две алгебры одинакового типа. Если существует f: A → B, такая что

,

то говорят, что f - гомоморфизм из A в B (гомоморфизм «уважает» операции)

Пусть A = , B = , тип = (1) и f: A → B. Действие этих функций изобразим с помощью следующей диаграммы:

φ

A → A

F↓ ↓f

B → B

Пусть f – гомоморфизм. Если взять конкретное и двигаться по двум различным путям на диаграмме, то получится один и тот же элемент (так как f(φ(a)) = ψ(f(a))), т.е. диаграмма коммутативна. Коммутативной диаграмма называется потому, что условие гомоморфизма можно переписать так

где - суперпозиция функций.

Рассмотрим морфизмы с другой стороны.

Пусть даны алгебраические системы A = , B = . Отображение φ: A → B называется гомоморфизмом системы A в систему B, если выполняются следующие условия:

1) для любого функционального символа f⁽ⁿ⁾ , соответствующих функций f_А и f_В в системах A и B и любых a₁, a₂, …, выполняется

2) для любого предикатного символа соответствующих предикатов P_А и P_В в системах A и B и любых a₁, a₂, …,a_n выполняется

Если φ: A → B – гомоморфизм, то будем его обозначать φ: A → B

При гомоморфизме сохраняются действий операций и отношения. Это позволяет переносить изучение свойств с одной системы на другую.

Пример. Пусть A = , B = , где N₁₀ +{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}, а +₁₀ - сложение по модулю 10. Тогда f:=a mod 10 - гомоморфизм из A в B.

Гомоморфизм, обладающий дополнительными свойствами, имеют специальные названия.

Гомоморфизм, который является инъекцией, называется мономорфизмом.

Гомоморфизм, который является сюръекцией, называется эпиморфизмом.

Гомоморфизм, который является биекцией, называется изоморфизмом.

Если A = B, то гомоморфизм называется эндоморфизмом, а изоморфизм называется автоморфизмом.

Фундаментальные алгебры

На множестве М может быть задано много различных операций. Чтобы выделить одну из них используют обычно скобки <М, *> и говорят, чтооперация * определяет на М алгебраическую структуру. Так, например, на множестве целых чисел помимо хорошо известных операций сложения и умножения целых чисел n и m можно ввести много других, например, операцию ○ суть которой состоит в следующем m○n = n m - 3n и т.п.

В зависимости от операции получаем различные алгебраические структуры: <М, *>; <М, +>; <М, х >; <М, ○>. Это бинарные операции, но операции могут быть в общем случае n –арными: при n = 1 – унарные, при n = 2 – бинарные, при n = 3 – тернарные и т.д. и их комбинации. Такие алгебраические структуры составляют специальную теорию универсальных алгебр. Изучение в общем виде алгебр для нас не представляет практического интереса, поэтому рассмотрим наиболее часто используемые алгебры, т.е. фундаментальные алгебры.

Подведем итог сказанному. Алгебра A = – это совокупность A носителя и сигнатуры Σ. Носитель A – это множество, которое может состоять из нескольких множеств, тогда алгебра будет называться многоосновной. Сигнатура Σ также является множеством, элементами которого являются множества {F_1,i1 , F_2,i2 , …,F_n,in,}, где первый индекс указывает местность операции, а второй индекс указывает порядковый номер, например, операции F_2,i2 – бинарные операции, номер данной операции i₂, где i₂ принимает значения 1, 2, …, n₂.