Дифференцирование функций

Производной функции в точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента , при условии, что стремится к нулю.

То есть:

.

Основные правила нахождения производной

Если - и - дифференцируемые функции в точке , (т.е. функции, имеющие производные в точке ), то:

1) ;

2) ;

3)

4) .

Таблица производных основных функций

1. 8.

2. 9.

3. 10.

4. 11.

5. 12.

6. 13.

7.

Правило дифференцирования сложной функции. Если и , т.е. , где и имеют производные, то

.

Дифференцирование функции, заданной параметрически. Пусть зависимость переменной от переменной задана параметрически посредством параметра :

,

Тогда

.

Задание 3. Найти производные данных функций.

1)

Решение. Применяя правило 2 нахождения производных и формулы 1 и 2 таблицы производных, получаем:

2)

Решение. Применяя правило 4 нахождения производных и формулы 1 и 13 таблицы производных, получаем:

.

3)

Решение. Применяя правило 3 нахождения производных и формулы 5 и 11 таблицы производных, получаем:

.

4)

Решение. Полагая , где , согласно формуле нахождения производной сложной функции, получим:

5)

Решение. Имеем: Тогда, согласно формуле нахождения производной функции, заданной параметрически, получаем:

4. Производные высших порядков. Правило Лопиталя.

Производной второго порядка функции называется производная от ее производной, т.е. . Для второй производной используются следующие обозначения: или , или .

Производной - го порядка от функции называется производная от ее производной -го порядка. Для производной -го порядка используются следующие обозначения: или , или .

Правило Лопиталя. Пусть функции и дифференцируемы в окрестности точки , причем производная не обращается в нуль. Если функции и являются одновременно либо бесконечно малыми, либо бесконечно большими при , и при этом существует предел отношения при , то существует также и предел отношения при . Причем

.

Правило применимо и в случае, когда .

Заметим, что в некоторых случаях раскрытие неопределенностей вида или может потребовать неоднократного применения правила Лопиталя.

Неопределенности вида и т.д. с помощью элементарных преобразований легко сводятся к неопределенностям вида или .

Задание 4. Найти предел , пользуясь правилом Лопиталя.

Решение Здесь мы имеем неопределенность вида , т.к. при . Применим правило Лопиталя:

.

После применения правила Лопиталя мы снова получили неопределенность вида , т.к. при . Применяя снова правило Лопиталя повторно, получим:

.