![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Производной функции
в точке
называется предел отношения приращения функции
к приращению аргумента
, при условии, что
стремится к нулю.
То есть:
.
Основные правила нахождения производной
Если -
и
- дифференцируемые функции в точке
, (т.е. функции, имеющие производные в точке
), то:
1) ;
2) ;
3)
4) .
Таблица производных основных функций
1. 8.
2. 9.
3. 10.
4. 11.
5. 12.
6.
13.
7.
Правило дифференцирования сложной функции. Если и
, т.е.
, где
и
имеют производные, то
.
Дифференцирование функции, заданной параметрически. Пусть зависимость переменной от переменной
задана параметрически посредством параметра
:
,
Тогда
.
Задание 3. Найти производные данных функций.
1)
Решение. Применяя правило 2 нахождения производных и формулы 1 и 2 таблицы производных, получаем:
2)
Решение. Применяя правило 4 нахождения производных и формулы 1 и 13 таблицы производных, получаем:
.
3)
Решение. Применяя правило 3 нахождения производных и формулы 5 и 11 таблицы производных, получаем:
.
4)
Решение. Полагая , где
, согласно формуле нахождения производной сложной функции, получим:
5)
Решение. Имеем: Тогда, согласно формуле нахождения производной функции, заданной параметрически, получаем:
4. Производные высших порядков. Правило Лопиталя.
Производной второго порядка функции называется производная от ее производной, т.е.
. Для второй производной используются следующие обозначения:
или
, или
.
Производной - го порядка от функции
называется производная от ее производной
-го порядка. Для производной
-го порядка используются следующие обозначения:
или
, или
.
Правило Лопиталя. Пусть функции и
дифференцируемы в окрестности точки
, причем производная
не обращается в нуль. Если функции
и
являются одновременно либо бесконечно малыми, либо бесконечно большими при
, и при этом существует предел отношения
при
, то существует также и предел отношения
при
. Причем
.
Правило применимо и в случае, когда .
Заметим, что в некоторых случаях раскрытие неопределенностей вида или
может потребовать неоднократного применения правила Лопиталя.
Неопределенности вида и т.д. с помощью элементарных преобразований легко сводятся к неопределенностям вида
или
.
Задание 4. Найти предел , пользуясь правилом Лопиталя.
Решение Здесь мы имеем неопределенность вида , т.к.
при
. Применим правило Лопиталя:
.
После применения правила Лопиталя мы снова получили неопределенность вида
, т.к.
при
. Применяя снова правило Лопиталя повторно, получим:
.
Дата публикования: 2014-11-02; Прочитано: 359 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!