Степенной ряд

Степенным рядом называется ряд вида (1): а_о+а₁х+а₂х²+...+а_пх^п+...,

а также ряд более общего вида (2): а_о+а₁ (х-х₀) +а₂х² (х-х₀) ²+...+а_пх^п (х-х₀) ⁿ+...,

говорят, что он расположен соответственно по степеням х, или по степеням х - х₀.

Постоянные а ₀, a₁,..., а_п,... называются коэффициентами степенного ряда.

Если обозначить х-х₀ через z, то ряд (2) окажется расположенным по степеням z, т. е. примет вид (1). Поэтому в дальнейшем, если особо не оговорено, степенным рядом именуется ряд вида (1). Степенной ряд всегда сходится при х =0.

Относительно сходимости его в других точках могут представиться три случая

· степенной ряд может расходится во всех точках, кроме х =0, например,

1¹ х ¹+2² х ²+3³ х ³+…+ п^пх^п+...,

· степенной ряд может сходиться во всех точках, например,

· степенной ряд может сходиться в одних точках и расходится в других.