Схема 5.1.1. Показатели вариации

1. Размах вариации (R) (амплитуда колебаний)– устанавливает предельное значение амплитуды колебаний признака. Размах вариации определяется как разность между максимальным и минимальным значениями признака в изучаемой совокупности, то есть это абсолютное отклонение. Имеет размерность изучаемого признака.

(5.1.1.)

Для сквозной задачи:

Однако крайние значения признака могут быть аномальными для данной совокупности, обусловленными какими-то случайными обстоятельствами. Тогда размах вариации будет служить характеристикой только этих двух аномальных единиц совокупности. В этом случае, с целью дальнейшего изучения вариации единиц совокупности, аномальные единицы следует убрать из совокупности.

2. Среднее линейное отклонение () – средний модуль отклонения вариантов признака от средней арифметической величины признака. Сохраняет размерность изучаемого признака.

Для расчета используется формула средней арифметической

простой:

– для несгруппированных данных (5.1.2.)

и взвешенной:

– для вариационного ряда распределения (5.1.3.)

3. Дисперсия (σ²) – средний квадрат отклонений вариантов признака от средней арифметической величины признака.

Размерность для дисперсии не указывается, т.к. дисперсия – промежуточный показатель, рассчитываемый для определения среднего квадратического отклонения (σ).

Дисперсию используют также и как самостоятельный показатель вариации, характеризующий меру вариации в очень однородных совокупностях – с незначительной колеблемостью.

– для несгруппированных данных (5.1.4.)

– для вариационного ряда распределения (5.1.5.)

Упрощенные формулы для расчета дисперсии

дисперсия равна среднему квадрату значений признака минус квадрат среднего значения признака.

(5.1.6.)

Или

(5.1.7.)

(5.1.8.)

Среднее квадратическое отклонение и дисперсия (σ и σ²) – наиболее часто применяемые показатели вариации, так как они входят в большинство теорем теории вероятностей, служащей фундаментом математической статистики.

Используя математические свойства дисперсии, расчётные формулы дисперсий можно привести к упрощённому виду.

4. Среднее квадратическое отклонение (σ) – корень из среднего квадрата отклонений вариантов признака от средней арифметической величины признака. Сохраняет размерность изучаемого признака.

Это среднее отклонение от средней величины признака

Для расчета σ используется формула средней квадратической

простой:

– для несгруппированных данных (5.1.9.)

и взвешенной:

– для вариационного ряда распределения (5.1.10.)

По свойствам мажорантности средних величин среднее квадратическое отклонение всегда больше среднего линейного отклонения.