Непараметрические методы

Метод χ² («хи-квадрат»)

Для использования непараметрического метода χ²не требуется вычислять среднюю или стандартное отклонение. Его преимущество состоит в том, что для применения его необходимо знать лишь зависимость распределения частот результатов от двух переменных; это позволяет выяснить, связаны они друг с другом или, наоборот, независимы. Таким образом, этот статистический метод используется для обработки качественных данных (см. дополнение Б.1). Кроме того, с его помощью можно проверить, существует ли достоверное различие между числом людей, справляющихся или нет с заданиями какого-то интеллектуального теста, и числом этих же людей, получающих при обучении высокие или низкие оценки; между числом больных, получивших новое лекарство, и числом тех, кому это лекарство помогло; и, наконец, существует ли достоверная связь между возрастом людей и их успехом или неудачей в выполнении тестов на память и т. п. Во всех подобных случаях этот тест позволяет определить число испытуемых, удовлетворяющих одному и тому же критерию для каждой из переменных.

При обработке данных нашего гипотетического эксперимента с помощью метода Стьюдента мы убедились в том, что употребление марихуаны испытуемыми из опытной группы снизило у них эффективность выполнения задания по сравнению с контрольной группой. Однако к такому же выводу можно было бы прийти с помощью другого метода — χ². Для этого метода нет ограничений, свойственных методу Стьюдента: он может применяться и в тех случаях, когда распределение не является нормальным, а выборки невелики.

При использовании метода χ²достаточно сравнить число испытуемых в той и другой группе, у которых снизилась результативность, и подсчитать, сколько среди них было получивших и не получивших наркотик; после этого проверяют, есть ли связь между этими двумя переменными.

Из результатов нашего опыта, приведенных в таблице в дополнении Б.2, видно, что из 30 испытуемых, составляющих опытную и контрольную группы, у 18 результативность снизилась, а 13 из них получили марихуану. Теперь надо внести значение этих так называемых эмпирических частот (Э) в специальную таблицу:

Эмпирические частоты (Э)

	Результаты
	Ухудшение	Без изменений или улучшение	Итого
	После употребления наркотика
Условия	Без наркотика
	Итого

Далее надо сравнить эти данные с теоретическими частотами (Т), которые были бы получены, если бы все различия были чисто случайными. Если учитывать только итоговые данные, согласно которым, с одной стороны, у 18 испытуемых результативность снизилась, а у 12 — повысилась, а с другой — 15 из всех испытуемых курили марихуану, а 15 — нет, то теоретические частоты будут следующими:

Теоретические частоты (Т)

	Результаты
	Ухудшение	Без изменений или улучшение	Итого
	После употребления наркотика	= 9	= 6
Условия	Без наркотика	= 9	= 6
	Итого

Метод χ²состоит в том, что оценивают, насколько сходны между собой распределения эмпирических и теоретических частот. Если разница между ними невелика, то можно полагать, что отклонения эмпирических частот от теоретических обусловлены случайностью. Если же, напротив, эти распределения будут достаточно разными, можно будет считать, что различия между ними значимы и существует связь между действием независимой переменной и распределением эмпирических частот.

Для вычисления χ² определяют разницу между каждой эмпирической и соответствующей теоретической частотой по формуле

,

а затем результаты, полученные по всех таких сравнениях, складывают:

χ² =Σ .

В нашем случае все это можно представить следующим образом:

	Э	Т	Э - Т	(Э - Т)2
Наркотик, ухудшение			+4		1,77
Наркотик, улучшение			-4		2,66
Без наркотика, ухудшение			-4		1,77
Без наркотика, улучшение			+4		2,66

χ² = Σ = 8,66

Для расчета числа степеней свободы число строк в табл. 2 (в конце приложения Б) за вычетом единицы умножают на число столбцов за вычетом единицы. Таким образом, в нашем случае число степеней свободы равно (2 - 1) ∙ (2 - 1) = 1.

Табличное значение χ²(см. табл. 2 в дополнении Б.5) для уровня значимости 0,05 и 1 степени свободы составляет 3,84. Поскольку вычисленное нами значение χ²намного больше, нулевую гипотезу можно считать опровергнутой. Значит, между употреблением наркотика и глазодвигательной координацией действительно существует связь [*].

[Следует, однако, отметить, что если число степеней свободы больше 1, то критерий χ²нельзя применять, когда в 20 или более процентах случаев теоретические частоты меньше 5 или когда хотя бы в одном случае теоретическая частота равна 0 (Siegel, 1956).]

Критерий знаков (биномиальный критерий)

Критерий знаков — это еще один непараметрический метод, позволяющий легко проверить, повлияла ли независимая переменная на выполнение задания испытуемыми. При этом методе сначала подсчитывают число испытуемых, у которых результаты снизились, а затем сравнивают его с тем числом, которого можно было ожидать на основе чистой случайности (в нашем случае вероятность случайного события 1:2). Далее определяют разницу между этими двумя числами, чтобы выяснить, насколько она достоверна.

При подсчетах результаты, свидетельствующие о повышении эффективности, берут со знаком плюс, а о снижении — со знаком минус; случаи отсутствия разницы не учитывают.

Расчет ведется по следующей формуле:

Z = ,

где X —сумма «плюсов» или сумма «минусов»;

n /2— число сдвигов в ту или в другую сторону при чистой случайности (один шанс из двух [*]);

0,5 — поправочный коэффициент, который добавляют к X,если X < n /2, или вычитают, если X > n /2.

[Такая вероятность характерна, например, для n бросаний монеты. В случае же если n раз бросают игральную кость, то вероятность выпадения той или иной грани уже равна одному шансу из 6 (n /6).]

Если мы сравним в нашем опыте результативность испытуемых до воздействия (фон) и после воздействия, то получим