Оценка разброса

Как мы уже отмечали, характер распределения результатов после воздействия изучаемого фактора в опытной группе дает существенную информацию о том, как испытуемые выполняли задание. Сказанное относится и к обоим распределениям в контрольной группе:

Сразу бросается в глаза, что если средняя в обоих случаях почти одинакова, то во втором распределении результаты больше разбросаны, чем в первом. В таких случаях говорят, что у второго распределения больше диапазон, или размах вариаций, т. е. разница между максимальным и минимальным значениями.

Так, если взять контрольную группу, то диапазон распределения для фона составит 22 - 10 = 12, а после воздействия 25 - 8 = 17. Это позволяет предположить, что повторное выполнение задачи на глазодвигательную координацию оказало на испытуемых из контрольной группы определенное влияние: у одних показатели улучшились, у других ухудшились [*]. Однако для количественной оценки разброса результатов относительно средней в том или ином распределении существуют более точные методы, чем измерение диапазона.

[Здесь мог проявиться эффект плацебо,связанный с тем, что запах дыма травы вызвал у испытуемых уверенность в том, что они находятся под воздействием наркотика. Для проверки этого предположения следовало бы повторить эксперимент со второй контрольной группой, в которой испытуемым будут давать только обычную сигарету.]

Чаще всего для оценки разброса определяют отклонение каждого из полученных значений от средней (M - ), обозначаемое буквой d,а затем вычисляют среднюю арифметическую всех этих отклонений. Чем она больше, тем больше разброс данных и тем более разнородна выборка. Напротив, если эта средняя невелика, то данные больше сконцентрированы относительно их среднего значения и выборка более однородна.

Итак, первый показатель, используемый для оценки разброса, — это среднее отклонение. Его вычисляют следующим образом (пример, который мы здесь приведем, не имеет ничего общего с нашим гипотетическим экспериментом). Собрав все данные и расположив их в ряд

3, 5, 6, 9, 11, 14;

находят среднюю арифметическую для выборки:

= = 8.

Затем вычисляют отклонения каждого значения от средней и суммируют их:

(3 - 8) + (5 - 8) + (6 - 8) + (9 - 8) + (11 - 8) + (14 - 8) = (-5) + (-3) + (-2) + (+1) + (+3) + (+6).

Однако при таком сложении отрицательные и положительные отклонения будут уничтожать друг друга, иногда даже полностью, так что результат (как в данном примере) может оказаться равным нулю. Из этого ясно, что нужно находить сумму абсолютных значений индивидуальных отклонений и уже эту сумму делить на их общее число. При этом получится следующий результат:

Среднее отклонение равно

= = = 33,3.

Общая формула:

Среднее отклонение = ,

где Σ (сигма) означает сумму; | d | — абсолютное значение каждого индивидуального отклонения от средней; n — число данных.

Однако абсолютными значениями довольно трудно оперировать в алгебраических формулах, используемых в более сложном статистическом анализе. Поэтому статистики решили пойти по «обходному пути», позволяющему отказаться от значений с отрицательным знаком, а именно возводить все значения в квадрат,а затем делить сумму квадратов на число данных. В нашем примере это выглядит следующим образом:

= = = 14.

В результате такого расчета получают так называемую вариансу [*]. Формула для вычисления вариансы, таким образом, следующая:

Варианса = .

[Варианса представляет собой один из показателей разброса, используемых в некоторых статистических методиках (например, при вычислении критерия F; см. следующий раздел). Следует отметить, что в отечественной литературе вариансу часто называют дисперсией. — Прим. перев. ]

Наконец, чтобы получить показатель, сопоставимый по величине со средним отклонением, статистики решили извлекать из вариансы квадратный корень. При этом получается так называемое стандартное отклонение:

Стандартное отклонение = .

В нашем примере стандартное отклонение равно = 3,74.

Следует еще добавить, что для того, чтобы более точно оценить стандартное отклонение для малых выборок (с числом элементов менее 30), в знаменателе выражения под корнем надо использовать не n, а n - 1:

σ = . [*]

[Стандартное отклонение для популяции обозначается маленькой греческой буквой сигма (σ), а для выборки — буквой s. Это касается и вариансы, т. е. квадрата стандартного отклонения: для популяции она обозначается σ², а для выборки — s ².]

Вернемся теперь к нашему эксперименту и посмотрим, насколько полезен оказывается этот показатель для описания выборок.

На первом этапе, разумеется, необходимо вычислить стандартное отклонение для всех четырех распределений. Сделаем это сначала для фона опытной группы: