Задачи с решениями. Задача 1. В группе студентов–филологов после отчисления из оставшихся 15 девушек и 3 юношей выбирают по жребию 3-х человек в новый оргкомитет «дней филолога»

Задача 1. В группе студентов–филологов после отчисления из оставшихся 15 девушек и 3 юношей выбирают по жребию 3-х человек в новый оргкомитет «Дней филолога». Какова вероятность того, что в составе выбранных окажется 2 девушки и 1 юноша?

Решение: Число всех равновозможных исходов этого испытания (обозначим его через n) заключается в выборе 3 студентов из 18 – это число равно 816 возможностям. Поэтому n = 816.

Число благоприятных исходов (обозначим его через m) – это выбор 2-х девушек из 15, т. е. это = 105 возможностей, и выбор 1-го юноши из 3, т. е. это = 3 возможности. Двух девушек и одного юношу, согласно комбинаторному принципу умножения, можно выбрать = 105 3= 315 способами. Поэтому m = 315. Следовательно, вероятность события А = {среди выбранных студентов окажется 2 девушки и 1 юноша} по формуле классической вероятности равна P(A)= ≈ 0,39.

Задача 2. В магазин "Академкнига" поступило 20 новых книг по филологии, из них 10 книг российских авторов, 6 книг

западноевропейских авторов и 4 книги татарстанских авторов. Покупатель случайно выбирает одну из новых книг по филологии. Найти вероятность, что наудачу купленная книга по филологии окажется российского или западноевропейского автора.

Решение. Событие А = {куплена книга по филологии российского автора}, событие В = {куплена книга по филологии западноевропейского автора}, тогда событие А ∪ В = {куплена книга по филологии российского или западноевропейского автора}. Соответственно, по формуле классической вероятности имеем р(А) = 0,5 и р(В) = 0,3. События А и В являются несовместными, следовательно, по теореме о сложении вероятностей р(А ∪ В) = р(А) + р(В) = 0,5 + 0,3 = 0,8.

Задача 3. В ящике 10 красных и 5 синих пуговиц. Вынимаются наудачу две пуговицы. Какова вероятность, что пуговицы будут одноцветными?

Решение. Событие A={вынуты пуговицы одного цвета} можно представить в виде суммы , где события и означают выбор пуговиц красного и синего цвета соответственно. Вероятность вытащить две красные пуговицы равна , а вероятность вытащить две синие пуговицы . Так как события и не могут произойти одновременно, то в силу теоремы сложения

Задача 4. Среди сотрудников фирмы 28% знают английский язык, 30% – немецкий, 42% – французский; английский и немецкий – 8%, английский и французский – 10%, немецкий и французский – 5%, все три языка – 3%. Найти вероятность того, что случайно выбранный сотрудник фирмы: а) знает английский или немецкий; б) знает английский, немецкий или французский; в) не знает ни один из перечисленных языков.

Решение. Обозначим через A, B и С события, заключающиеся в том, что случайно выбранный сотрудник фирмы владеет английским, немецким или французским соответственно. Очевидно, доли сотрудников фирмы, владеющих теми или иными языками, определяют вероятности этих событий. Получаем:

а) P(AÈB)=P(A)+P(B) -P(AB)=0,28+0,3-0,08=0,5;

б) P(AÈBÈC)=P(A)+P(B)+P(C)-(P(AB)+P(AC)+P(BC))+P(ABC)=0,28+0,3+0,42-

-(0,08+0,1+0,05)+0,03=0,8;

в) 1-P(AÈBÈC)=0,2.

Задача 5. В семье – двое детей. Какова вероятность, что старший ребенок – мальчик, если известно, что в семье есть дети обоего пола?

Решение. Пусть А={старший ребенок – мальчик}, B={в семье есть дети обоего пола}. Будем считать, что рождение мальчика и рождение девочки – равновероятные события. Если рождение мальчика обозначить буквой М, а рождение девочки – Д, то пространство всех элементарных исходов состоит из четырех пар: . В этом пространстве лишь два исхода (МД и ДМ) отвечают событию B. Событие AB означает, что в семье есть дети обоего пола. Старший ребенок – мальчик, следовательно, второй (младший) ребенок – девочка. Этому событию AB отвечает один исход – МД. Таким образом, |AB|=1, |B|=2 и

Задача 6. Мастер, имея 10 деталей, из которых 3 – нестандартных, проверяет детали одну за другой, пока ему не попадется стандартная. Какова вероятность, что он проверит ровно две детали?

Решение. Событие А={мастер проверил ровно две детали} означает, что при такой проверке первая деталь оказалась нестандартной, а вторая – стандартная. Значит, , где ={ первая деталь оказалась нестандартной } и ={вторая деталь – стандартная}. Очевидно, что вероятность события А₁ равна кроме того, , так как перед взятием второй детали у мастера осталось 9 деталей, из которых только 2 нестандартные и 7 стандартных. По теореме умножения

Задача 7. В одном ящике 3 белых и 5 черных шаров, в другом ящике – 6 белых и 4 черных шара. Найти вероятность того, что хотя бы из одного ящика будет вынут белый шар, если из каждого ящика вынуто по одному шару.

Решение. Событие A={хотя бы из одного ящика вынут белый шар} можно представить в виде суммы , где события и означают появление белого шара из первого и второго ящика соответственно. Вероятность вытащить белый шар из первого ящика равна , а вероятность вытащить белый шар из второго ящика . Кроме того, в силу независимости и имеем: . По теореме сложения получаем: