Представление пространственных форм

Во многих приложениях машинной графики возникает потребность в представлении трехмерных форм: при проектировании самолетов, при восстановлении трехмерных тел по изображениям их поперечных сечений, построенных с помощью машинной томографии, при автоматической сборке и во многих других. Нам уже известно, как изображаются пространственные объекты, когда их удается представить в виде последовательности отрезков прямых, заданных в мировых координатах. Совокупность отрезков не является адекватным описанием объекта, поскольку отрезки сами по себе не определяют поверхностей. В то же время информация о поверхностях необходима для проведения вычислений, связанных со стиранием скрытых частей изображения, для определения объемов и т. д. Таким образом, мы приходим к выводу, что для описания трехмерных форм необходимы поверхности – примитивы более высокого уровня, чем отрезки.

Мы остановим внимание на двух широко распространенных трехмерных представлениях поверхностей в пространстве: полигональных сетках и параметрических бикубических кусках. Полигональной сеткой является совокупность связанных между собой плоских многоугольников. Наружную форму большинства зданий можно легко и естественно описать с помощью полигональной сетки (так же, как мебель и комнаты). Полигональные сетки применяются также для представления объектов, ограниченных криволинейными поверхностями. Однако недостатком этого метода является его приблизительность. Видимые ошибки в таком представлении можно сделать сколь угодно малыми, используя все большее число многоугольников для улучшения кусочно-линейной аппроксимации объекта, но это приведет к дополнительным затратам памяти и вычислительного времени для алгоритмов, работающих с таким представлением.

Параметрические бикубические куски описывают координаты точек на искривленной поверхности с помощью трех уравнений (по одному для х, у и z). Каждое из уравнений имеет две переменные (два параметра), причем показатели степени при них не выше третьей (отсюда название бикубический). Границами кусков являются параметрические кубические кривые. Для представления поверхности с заданной точностью требуется значительно меньшее число бикубических кусков, чем при аппроксимации полигональной сеткой. Однако алгоритмы для работы с бикубическими объектами существенно сложнее алгоритмов, имеющих дело с многоугольниками.

При использовании обоих методов трехмерное тело представляется в виде замкнутой поверхности.