Распределение скорости по сечению трубы

Определим закон, по которому распределяются скорости по поперечному сечению трубы при установившемся ламинарном режиме движения жидкости.

Как отмечалось, ламинарное движение имеет слоистый характер и происходит без перемешивания частиц. Один слой движется по другому и между ними возникает сила трения, напряжение t которой определяется законом внутреннего трения Ньютона:

(2.45)

где местная скорость.

С другой стороны для слоя жидкости на расстоянии y от стенки трубы касательное напряжение может быть определено из уравнения равномерного движения

(2.46)

Приравнивая правые части уравнений (2.45) и (2.46) и, решая их относительно du, будем иметь

.

Проинтегрируем это уравнение:

или

. (2.47)

Постоянную интегрирования с найдем из пограничных условий. Так как при r ₀= r скорость u =0, то

.

Подставляя полученное значение с в уравнение (2.47), получим

или

. (2.48)

Формула (2.48) описывает закон Стокса. Она представляет собой уравнение параболы, поэтому заключаем, что изменение скоростей течения по живому сечению потока происходит по параболической закономерности. Задаваясь разными значениями r в пределах от 0 до r ₀ и подсчитывая скорости по формуле (2.48), можно построить эпюру скоростей (рисунок 2.14).

Рисунок 2.14

Из формулы (2.48) следует, что на оси потока при r =0, будем иметь максимальную скорость течения:

, (2.49)

или, имея в виду, что ,

. (2.50)