 |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
Xc — сохранить оборудование
|
|
Xз — заменить оборудование
1 ≤ t ≤ 5 — оборудование эксплуатируется в течении 5 лет.
В начале каждого года принимается решение — сохранит или заменить
po = 4000 $ — Стоимость нового оборудования.
После t лет эксплуатации оборудование можно продать за g (t) = po 2-t $ — ликвидационная стоимость
r (t) = 600(t+1) — затраты на содержание (эксплуата-ционные) в течении года завися от возраста t.
Определить оптимальную стратегию эксплуатации оборудования, чтобы суммарные затраты с учетом начальной покупки и заключительной продажи были минимальными.
Решение. Способ деления управления на шаги естественный, по годам, п = 5. Параметр состояния — возраст машины — Sk-1=t, So=0 — машина новая в начале первого года эксплуатации. Управление на каждом шаге зависит от двух переменных Xе и X3.
Уравнения состояний зависят от управления:
t + 1, если Xk=Xc
Sk = k = 1,2,3,4 (Д.22)
1, если Xk= X3
В самом деле, если к k -му шагу Sk-1=t, то при сохранении машины (Xk=Xc) через год возраст машины увеличится на 1. Если машина заменяется новой (Xk=X3), то это означает, что к началу k -го шага ее возраст t =0, а после года эксплуатации t = 1, т.е. sk =1.
Показатель эффективности k-ro шага:
600(t + 1), если Xk=Xc
fk=(Xk,t)= k = 1,2,3,4 (Д.23)
4600 - 4000 • 2- t, если Xk = Xз,
При Xс затраты только на эксплуатацию машины возраста t — 600(t + 1)
При X3 машина
Ø продается (— 4000*2-t),
Ø покупается новая (4000) и
Ø эксплуатируется в течение первого года (600), общие затраты равны (— 4000*2-t + 4000 + 600).
Пусть Z*k(t) — условные оптимальные затраты на эксплуа-тацию машины, начиная с k- го шага до конца, при условии, что к началу k -го шага возраст машины t лет.
Запишем для функций Z*k(t) уравнения Беллмана (Д.5),(12.8), заменив задачу максимизации на задачу минимизации:
600(t + 1) - 4000•2-( t +1) , если X5=Xc (Д.24)
Z*5=min
4600 - 4000•2- t - 4000•2-( t +1), если X5=Xз,
4000•2-( t +1) —стоимость машины возраста t лет (машина после 5 лет эксплуатации продается).
Дадим геометрическое решение этой задачи.
На оси абсцисс будем откладывать номер шага k, на оси ординат — возраст t машины.
Надо выбрать такую траекторию, при которой затраты на эксплуатацию машины окажутся минимальными.
Рис Д.7
Над каждым отрезком, соединяющим точки (k—1; t) и (k; t+1), запишем соответствующие управлению Xc затраты, найденные из (Д.23) 600(t+1), а над отрезком, соединяющим точки (k-1; t) и (k; t), запишем затраты, соответствующие управлению X3, т.е. 4600 - 4000*2-t.
Таким образом, мы разметим все отрезки, соединяющие точки на графике, соответствующие переходам из любого состояния Sk-1 в состояние Sk (рис.Д.8).
Например, над отрезками, соединяющими точки (k;2) и (k+1;3), стоит число 1800$, что соответствует затратам на эксплуатацию в течение каждого года машины возраста t= 2 лет, а над отрезками, соединяющими (k;2) и (k+1;1), стоит число 3600 — это сумма затрат на покупку машины и эксплуатацию новой машины в течение года без "затрат" (выручки) за проданную машину возраста t лет.
Следует учесть, что 0 ≤ t ≤ k.
Проведем на размеченном графе состояний (см.рис.Д.8) условную оптимизацию.
V шаг. Начальные состояния — точки (4; t), конечные (5; t).
В состояниях (5; t) машина продается, условный оптимальный доход от продажи равен 4000*2-t, но поскольку целевая функция связана с затратами, то в кружках точек (5; t) поставим величину дохода со знаком минус.
Анализируем, как можно попасть из каждого начального состояния в конечное на V шаге.
Состояние (4;1). Из него можно попасть в состояние (5;2), затратив на эксплуатацию машины 1200 и выручив затем от продажи 1000, т.е. суммарные затраты равны 200, и в состояние (5;1) с затратами 2600 — 2000 = 600.
Значит, если к последнему шагу система находилась в точке (4;1), то следует идти в точку (5;2)
укажем это направление двойной стрелкой, а неизбежные минимальные затраты, соответствующие этому переходу, равны 200 поместим эту величину Z*5 (1) = 200 в кружке точки (4; 1).
Состояние (4;2).
Из него можно попасть в точку (5; 3) с затратами 1800-500=1300
и в точку (5; 1) с затратами 3600-2000=1600.
Выбираем первое управление, отмечаем его двойной стрелкой, а
Z*5 (2)= 1300 проставляем в кружке точки (4; 2).
Рассуждая таким же образом для каждой точки предпоследнего шага, мы найдем для любого исхода IV шага оптимальное управление на V шаге, отметим его на рис.Д.8 двойной стрелкой.
IV шаг, анализируя каждое состояние, в котором может оказаться система в конце III шага с учетом оптимального продолжения до конца процесса, т.е. решаем для всех 0 ≤ t ≤ 4 при k =4 уравнения (Д.22).
Например, если начало IV шага соответствует состоянию (3;1), то при управлении Xс система переходит в точку (4;2).
Затраты на этом шаге 1200, а суммарные затраты за два последних шаги равны 1200+1300=2500.
При управлении.X3 затраты за два шага равны 2600+200=2800.
Выбираем минимальные затраты 2500, ставим их в кружок точки (3;1), а соответствующие управления на этом шаге помечаем двойной стрелкой, ведущей из состояния (3;1), в состояние (4;2).
Так поступаем для каждого состояния (3 ;t) (см. рис.Д.8).
После проведения условной оптимизации получим в точке (0; 0) минимальные затраты на эксплуатацию машины в течение 5 лет с последующей продажей:
Zmin = 11900.
Далее строим оптимальную траекторию, перемещаясь из точки S0(0; 0) по двойным стрелкам в S `.
Получаем набор точек:
{(0; 0), (1; 1), (2; 2), (3; 1), (4; 2), (5; 3)},
который соответствует оптимальному управлению
X* (Xе, Xе, X3, Xе, Xе).
Оптимальный режим эксплуатации состоит в том, чтобы заменить машину новой в начале 3-го года ◄
МОДЕЛИ СЕТЕВОГО ПЛАНИРОВАНИЯ И УПРАВЛЕНИЯ
Назначение и области применения сетевого планирования и управления.
Дата публикования: 2014-11-02; Прочитано: 453 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!
