Порядок проведення розрахунку. Нехай задана вибірка х1, х2 хn об’єму n із нормально розподіленої сукупності, при цьому середнє значення μ не відоме

Нехай задана вибірка х₁, х₂…… х_n об’єму n із нормально розподіленої сукупності, при цьому середнє значення μ не відоме. Перевірити гіпотезу про рівність середнього значення μ генеральної сукупності деякому фіксованому значенню μ_о.

Н_о: μ= μ_о – нульова гіпотеза.

Випадок І: дисперсія вибірки σ² відома.

- обчислюємо вибіркове середнє:

. (9.1)

- обчислюємо нормовану випадкову величину:

, що має N(0;1) розподіл 1.

- При цьому з прийнятих в техніці рівнів вагомості (0,05; 0,01; 0,1) знаходять по таблиці потрібне критичне значення g_α.

- Проводимо аналіз отриманих результатів: якщо то гіпотеза Н_о відхиляється; якщо то гіпотеза Н_о приймається.

Випадок ІІ: дисперсія вибірки σ² невідома.

- обчислюємо вибіркове середнє для незалежної вибірки х₁, х₂…… х_n об’єма n:

. (9.2)

- обчислюємо вибіркове середньоквадратичне відхилення:

. (9.3)

- обчислюємо значення t – критерію

, що має розподіл Стюдента з m=n-1 ступенями вільності.

- Для заданого рівня вагомості α (0,1; 0,05; 0,01) та m=n-1 ступенями вільності по таблиці знаходимо граничне значення .

- Порівнюємо значення t із знайденим по таблицях t_α,m: якщо , то гіпотеза Н_о – приймається; якщо , то гіпотеза Н_о – відхиляється.

Нехай задано дві нормально розподілені вибіркові сукупності х₁, х₂…х_n1 і у₁, у₂…у_n2 необхідно перевірити гіпотезу про рівність їх дисперсій.

Н_о: - висунута гіпотеза.

- Обчислюємо для двох вибірок об’ємів n i m вибіркові середні і вибіркові дисперсії:

; (9.4)

; (9.5)

; (9.6)

. (9.7)

- Обчислюємо вибіркову функцію

. (9.8)

де F – розподіл Фішера з m₁=n₁-1 і m₂=n₂-1 ступенями вільності (при цьому в чисельник необхідно ставити більшу дисперсію).

- Для заданого рівня вагомості α(0,1; 0,05; 0,01) і ступеня вільності m₁=n₁-1 і m₂=n₂-1 знаходимо критичну величину F - статистики:

- Якщо вибіркове F задовольняє умову , то гіпотезу Н_о приймаємо, тобто вважаємо відмінності між вибірковими дисперсіями незначними і . В противному випадку гіпотеза Н_о відхиляється, тобто вважаємо, що емпірична дисперсія значно перевищує дисперсію .

9.4 Варіанти завдань

Нехай задана вибірка x=5+і; 4+і; 3,5+і; 2+і; 2,8+і; 3+і; 5,1+і; 5+і; 4,6+і; 3,5+і; 6+і; 2,8+і; 5+і; 4,1+і; 3,8+і; 4,2+і; 5+і; 2,7+і; 2,3+і; 4,2+і; 6,1+і; 5,4+і; 4,8+і; 4+і; 2,4+і; 4,2+і; 5,3+і; 3+і; 2,9+і; 2+і.

і - номер варіанту.

9.5 Контрольні запитання

9.5.1. Дайте визначення поняття "нульова гіпотеза".

9.5.2. Що собою являє критерій Стьюдента?

9.5.3. Охарактеризуйте критерій Фішера.

9.5.4. Поясніть поняття "рівень вагомості".