![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Пример. Пусть плотность распределения зазана функцией
Найти: а) значение параметра ; б) функцию распределения
в) Вычислить вероятность того, что случайная величи- на примет значение из отрезка
.
а) По свойству 4, . Тогда
б) По свойству 2, Если
Если ,
.
Таким образом,
в) По свойству 3,
§ 3. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ
ВЕЛИЧИН
При решении многих практических задач нет необходимости знать все вероятностные характеристики случайной величины. Иногда достаточно знать только некоторые числовые характе - ристики закона распределения.
Числовые характеристики позволяют в сжатой форме выра -зить наиболее существенные особенности того или иного рас- пределения.
О каждой случайной величине прежде всего необходимо знать её среднее значения, около которого группируются все возможные значения этой величины, а также некоторое число, характеризующее степень рассеяния этих значений относитель- но среднего.
Различают характеристики положения и характеристики рас- сеяния. Одной из самых важных характеристик положения яв- ляется математическое ожидание.
3.1 Математическое ожидание (среднее значение).
Рассмотрим сначала дискретную случайную величину, име -ющую возможные значения с вероятностями
.
Определение. Математическим ожиданием дискретной слу- чайной величины называется сумма произведений всех возможных значений этой величины на их вероятности, т.е.
. (1)
По другому, математическое ожидание обозначается
Пример. Пусть дан ряд распределения:
![]() | ||||
![]() | 0,2 | 0,1 | 0,3 | 0,4 |
Тогда
Рассмотрим теперь непрерывную случайную величину все возможные значения которой заключены в отрезке
.
Разобьём этот отрезок на частичных отрезков, длины которых обозначим:
, и в каждом частичном интервале возьмём по произвольной точке, соответственно
.
Так как произведение при- ближённо равно вероятности попадания случайной величины на элементарный участок
, то сумма произведений
составленная по аналогии с опреде -лением математического ожидания дискретной случайной ве- личины, приближённо равна математическому ожиданию не -прерывной случайной величины
Пусть
.
Тогда
Определение. Математическим ожиданием непрерывной случайной величины называется следующий определённый интеграл:
(2)
Если непрерывная случайная величина принимает значения на всей числовой прямой, то
Пример. Пусть дана плотность распределения непрерывной случайной величины:
Тогда её математическое ожидание:
Понятие математического ожидания имеет простую меха -ническую интерпретацию. Распределение вероятностей слу -чайной величины можно интерпретироварь как распределение единичной массы по прямой. Дискретной случайной величине, принимающей значения с вероятностями
соответствует прямая, на которой массы
сосредоточены в точках
. Непре- рывной случайной величине отвечает непрерывное распреде -ление масс на всей прямой или на конечном отрезке этой прямой. Тогда математическое ожидание - это абсцисса цент- ра тяжести.
СВОЙСТВА МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОЖИДАНИЯ
1. Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной:
2. Постоянный множитель можно вынести за знак матема- тического ожидания:
3. Математическое ожидание алгебраической суммы слу –чайных величин равна алгебраической сумме их мате- матических ожиданий:
4. Математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению их математи -ческих ожиданий:
5. Математическое ожидание отклонения случайной вели- чины от её математического ожидания равно нулю:
3.2. Мода и медиана случайной величины.
Это ещё две характеристики положения случайной вели- чины.
Определение. Модой дискретной случайной величины называется её наиболее вероятное значение. Для непрерыв –ной случайной величины мода - это точка максимума функ- ции
.
Если многоугольник распределения (для дискретной случай- ной величины) или кривая распределение (для непрерывной случайной величины) имеет две или более точек максимума, то распределение называется двухмодальным или многомо -дальным, соответственно.
Если нет ни одной точки максимума, то распределение называется антимодальным.
Определение. Медианой случайной величины
на – зывается такое её значение, относитеоьно которого равноверо- ятны получение большего или меньшего значения случайной величины, т.е.
Другими словами, - это абсцисса точки, в которой площадь под графиком плотности распределения (многоуголь- ником распределения) делится пополам.
Пример. Дана плотность случайной величины:
Найти медиану этой случайной величины.
Медиану найдём из условия
. В нашем случае,
Из четырёх корней необходимо выбрать тот, который заключён между 0 и 2, т.е.
Замечание. Если распределение случайной величины одно- модальное и симметричное (нормальное), то все три характе -ристики положения: математическое ожидание, мода и медиа -на, совпадают.
3.3 Дисперсия и среднее квадратическое отклонение.
Значения наблюдаемых случайных величин, обычно, более или менее колеблются около некоторого среднего значения. Это явление называется рассеянием случайной величины око- ло её среднего значения. Числовые характеристики, показыва- ющие, насколько плотно сгруппированы возможные значения случайной велипины около среднего, называются характерис – тиками рассеяния. Из свойства 5 математического ожидания следует, что линейное отклонение значений случайной вели –чины от среднего значения не может служить характеристикой рассеяния, так как положительные и отрицательные отклоне –ния «гасят» друг друга. Поэтому основной характеристикой рассеяния случайной величины принято считать математичес - кое ожидание квадрата отклонения случайной величины от среднего.
Определение. Дисперсией называется математическое ожи –дание квадрата отклонения случайной величины от её матема- тического ожидания (среднего значения), т.е.
(3)
Для дискретной случайной величины:
(4) для непрерывной случайной величины:
(5)
Но, несмотря на удобства этой характеричтики рассеяния, желательно иметь характеристику рассеяния соразмерную с самой случайной величиной и её математическим ожиданием.
Поэтому вводится ещё одна характеристика рассеяния, кото -рая называется средним квадратическим отклонением и рав -на корню из дисперсии, т.е. .
Для вычисления дисперсии удобно пользоваться формулой, которую даёт следующая теорема.
ТЕОРЕМА. Дисперсия случайной величины равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной вели -чины и квадратом её математического ожиданием, т.е.
В самом деле, по определению
Так как .
СВОЙСТВА ДИСПЕРСИИ:
1. Дисперсия постоянной случайной величины равна нулю, т.е.
2. Постоянный множитель сучайной величины выносится из дисперсии с квадратом, т.е.
3. Дисперсия алгебраической суммы двух случайных вели- чин равна сумме их дисперсий, т.е.
Следствие из 2 и 3 свойств:
Рассмотрим примеры..
Пример 1. Дан ряд распределения дискретной случайной величины. Найти её среднее квадратическое отклонение.
![]() | - 1 | ||||
![]() | 0,2 | 0,05 | 0,2 | 0,3 | 0,25 |
Сначала найдём
Тогда среднее квадратическое отклонение
Пример 2. Пусть дана плотность распределения непрерыв -ной случайной величины:
Найти её дисперсию и среднее квадратическое отклонение.
Тогда
3.4 Моменты случайных величин.
Различают моменты двух видов: начальные и центральные.
Определение. Начальным моментом порядка случайной
величины называют математическое ожидание величины
, т.е.
.
Для дискретной случайной величины:
Для непрерывной случайной величины:
В частности, математическое ожидание - это началь- ный момент 1 – го порядка.
Определение. Центральным моментом полрядка слу -чайной величины
называется математическое ожидание ве- личины
, т.е.
Для дискретной случайной величины:
Для непрерывной -
Центральный момент 1 – го порядка равен нулю (свойство 5 математического ожидания); ;
характеризует асимметрию (скощенность) графика плотности распределения.
называется коэффициентом асимметрии.
служит для характеристики островерхости распределения.
Определение. Эксцессом случайной величины называет- ся число
Для номально распределённой случайной величины отноше- ние . Поэтому кривые распределения, более островер- хие, чем нормальная, имеют положительный эксцесс (
), а более плосковерхие имеют отрицательный эксцесс (
).
Пример. Пусть дана плотность распределения случайной величины :
Найти коэффициент асимметрии и эксцесс этой случайной величины.
Найдём необходимые для этого моменты:
Тогда коэффициент асимметрии:
(отрицательная асимметрия).
Эксцесс равен
Кроме рассмотренных выше начальных и центральных мо –ментов на практике иногда применяются так называемые абсо- лютные моменты.
Абсолютный начальный момент определяется формулой:
Абсолютный центральный момент задаётся формулой:
В частности, называется средним ариф- метическим отклонением и иногда используется для харак -теристики рассеяния случайной величины.
Наряду с отмеченными выше числовыми характеристиками, для описания случайных величин используются понятия квантилей.
Определение. Квантилем уровня (или
- квантилем) называется такое значение
случайной величины, при кото- ром функция её распределения принимает значение, равное
, т.е.
В обозначениях этого определения, медиана случайной ве- личины
§ 4 ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
Сначала рассмотрим некоторые законы распределения дис- кретных случайных величин.
4.1 Биномиальное распределение.
Пусть случайная величина - это число появлений неко -торого события
в серии из
независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события
, а вероятность не появления события
Ряд распределения такой величины имеет вид:
![]() | ![]() | ![]() | ||
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() |
где . Такой ряд распределения называется биномиальным. Математическое ожидание случайной величины
в этом случае имеет вид:
(1)
Для вычисления этого выражения, продифференцировав по следующее выражение:
получим
Если мы умножим это равенство на
, получим
(2)
Но а правые части равенств (1) и (2) совпадают, тогда
Продифференцировав то же самое выражение дважды, получим
Умножив полученное равенство на , получим:
Тогда
Таким образом,
Отсюда Тода
Итак, для биномиального распределения:
Пример. Произведено 20 независимых выстрелов по мише- ни. Вероятность попадания при каждом выстреле . Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квад -ратическое ожидание числа попаданий.
Случайная величина - число попаданий, распределена по биномиальному закону.
Тогда
4.2 Распределение Пуассона.
Определение. Дискретная случайная величина имеет
закон распределения Пуассона, если она задаётся рядом рас- пределения
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ||
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() |
в котором вероятности определяются по формуле Пуассона
(3)
где (
- среднее число появлений события в серии испытаний, в каждом из которых вероятность появления события постоянная величина
).
Приведём без доказательства следующую теорему.
ТЕОРЕМА. Математическое ожидание и дисперсия случай -ной величины, распределённой по закону Пуассона, совпадают и равны параметру этого закона, т.е.
При достаточно больших (вообще при
) и малых значениях
при условии, что произведение
- постоянная величина (
), закон распределения Пуассона является хорошим приближением биномиального за –кона, т.е. распределение Пуассона - это асимптотическое рас -пространение биномиального закона. Иногда этот закон назы -вают законом редких явлений. По закону Пуассона распреде- лены, например, число сбоев автоматической линии, число от- казов системы в «нормальном режиме», число сбоев в работе АТС и т.п.
Дата публикования: 2014-11-04; Прочитано: 432 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!