Об’ємний напружений стан

Тест 1.

В сталевій плиті (рис. 111) зроблений отвір кубічної форми з розмірами

1 см×1 см×1 см. В цей отвір щільно без зазорів вставлений кубик розміром

1 см×1 см×1 см стиснутий силою F=6 кН. Визначити головні напруження в кубику, якщо μ=0,3.

Розв’язок

Якщо зволікти куб зі сталевої плити, то по всіх його гранях будуть діяти стискаючи зусилля та створюватися відповідні їм стискаючі напруження. Це пояснюється наступним. В напрямку дії вертикального стискаючого зусилля F будуть створюватися вертикальні деформації стиску, а в поперечних напрямках почнуть створюватися за законом Пуассона деформації розтягу. Враховуючи те, що між бічними стінками куба та плити немає зазорів, в поперечних напрямках від бічних стінок плити будуть діяти однакові стискаючі реакції R₁=R₂ (тіло ізотропне, а розміри ребер куба однакові). Напруження в напрямку дії стискаючої сили F визначаються за формулою . Реакції R₁=R₂ неможливо визначити з рівнянь статики. Тому слід розглянути деформації в напрямку дії цих реакцій. За законом Гук для об’ємного напруженого стану маємо:

Після скорочення на множник та приймаючи до уваги, що розміри граней куба і реакції R₁=R₂ однакові, напруження також будуть однакові тобто . В такому разі замість системи двох рівнянь можна розглядувати одне рівняння виду З цього рівняння отримаємо . Таким чином, напруження дорівнюють .

Рис. 111.

Тест 2

В сталевій плиті зроблений паз шириною та глибиною 1 см. В цей паз щільно без зазорів вставлений кубик розміром 1 1 1 см стиснутий силою F=6 кН. Визначити головні напруження в кубику, якщо μ=0,33 (рис. 111).

Розв’язок.

Зволікаєм куб з плити. При цьому у вертикальному напрямку дії сили F будуть створюватися стискаючи деформації та відповідні їм нормальні напруження . В напрямку розташування паза грань куба є вільною, тому в цьому напрямку будуть за законом Пуасона створюватися деформації розтягу, але ж напруження по цій грані куба будуть відсутні. В напрямку бічних стінок плити також буде створюватися розтяг ребер куба, але ж стінки плити будуть спричиняти опір такому деформуванню. Тому з боку бічних стінок плити будуть діяти реакції R, які приведуть до створення стискаючих напружень . Приймаючи до уваги, що матеріал куба є ізотропним, тому напруження в напрямку дії сили F будуть найбільшими стискаючими , а напруження від реакції стінок R є також стискаючими, але ж меншими ніж від сили F. Напруження від дії стискаючої сили F дорівнюють . Напруження в напрямку розташування паза дорівнюють нулю, тобто . Реакцію стінки плити за рівняннями статики визначити не можливо, але ж деформація у цьому напрямку . Тому стискаюче напруження від дії реакції стінки визначимо з рівняння закону Гука для головних деформацій при плоскому напруженому стані

. З цього виразу отримуємо

Таким чином остаточно маємо .

Статично невизначувані задачі на розтягання (стискання)

Тест 1.

Визначити напруження в лівій частині сталевого стержня (рис. 112), якщо зазор між лівою частиною та стержнем ∆=0,2 мм, площа перерізу стержня А =5 см², модуль пружності матеріалу

Рис. 112. Е =2∙10⁵ МПа.

Розв’язок:

Під дією зовнішньої сили F стержень збільшує свою довжину на величину зазору - ∆. Далі його збільшення буде припинено за рахунок нерухомої лівої стінки, де виникне додаткова опорна реакція R ₁. Тому в задачі з’являється додаткове невідоме зусилля, яке не можна знайти тільки за допомогою рівняння рівноваги:

(1)

Складаємо додаткове рівняння деформацій:

(2)

За допомогою закону Гука перетворюємо рівняння деформацій в рівняння невідомих зусиль R ₁ і R ₂:

; . (3)

Визначимо внутрішні сили N ₁ та N ₂ за допомогою методу перерізів:

Тоді:

; .

Підставимо отримані вирази ∆ l_i в рівняння (2):

Рішимо систему рівнянь:

;

;

;

;

.

Напруження в лівій частині стержня буде дорівнювати:

.

Тест 2.

Абсолютно жорстка балка (рис. 113) спирається на три бетонні колони (Е_б =15∙10⁵ МПа) однакового поперечного перерізу А =500 см². Між балкою та середньою колоною до навантаження був зазор ∆=0,4 мм. Знайти напруження в усіх колонах.

Рис. 113.

Розв’язок:

Під дією зовнішнього навантаження колони стискуються на деяку величину, яка буде більше ніж зазор ∆, який був до прикладання розподіленого навантаження між жорсткою балкою та середньою колоною. Тому у всіх колонах виникнуть внутрішні сили (дивись рис. 114).

Для відсіченої частини конструкції залишимо рівняння рівноваги:

якщо , то

(1)

Рис. 114

Складаємо додаткове рівняння деформацій. Зміна довжини кожної колони показано на рис. 115:

(2)

За допомогою закону Гука перетворимо рівняння деформацій в рівняння відносно невідомих зусиль N_i.

Рис. 115

; .

Підставимо записані вирази до рівняння (2):

Рішимо систему рівнянь:

Тест 3.

Визначити напруження в стержні (рис. 116) при підвищенні його температури на ∆t⁰=50⁰, якщо a=0,5 м, b=0,6 м, ∆=0,5 мм. Коефіцієнт лінійного розширення для сталі α_ст=1,25∙10^-5 1/град, для міді α_м=1,65∙10^-5 1/град. Модуль пружності сталі: Е_ст=2∙10⁵ МПа, міді Е_м=10⁵ МПа.

Рис.116.

Розв’язок

Під дією температури стержень спробує збільшити свою довжину, тому з двох сторін виникнуть опорні реакції R₁ та R₂.

1) Визначимо ступінь статичної невизначуваності, як різницю між кількістю невідомих зусиль (R₁ та R₂)

Рис.117. та числом рівнянь рівноваги,

які не перетворюються в тотожній нуль.

2) Складемо можливі рівняння рівноваги:

3) Складемо додаткове рівняння деформацій (див.рис.118):

(1)

Тобто стержень під дією температури зможе збільшити свою початкову довжину тільки на величину зазору ∆.

Рис.118.

4) За допомогою закону Гука перетворимо рівняння деформацій в рівняння відносно невідомих зусиль R₁ та R₂.

; .

Внутрішні зусилля визначимо за допомогою методу перерізів:

;

;

; .

;

.

Підставимо отримані вирази в рівняння (1):

Відомо, що напруження при розтяганні (стисканні) визначається за формулою:

якщо то

Тест 4.

Визначити напруження в стержні (рис. 119) ліворуч від перерізу, в якому прикладена сила, якщо F =400 кН, площа поперечного перерізу А =20 см², модуль пружності сталі Е _ст=2∙10⁵ МПа, міді Е _м=10⁵ МПа.

Рис.119.

Розв’язок:

Під дією зовнішньої сили F стержень намагається змінити свою довжину, але за рахунок опорних реакцій жорстких опор зліва та справа його повне подовження буде дорівнювати нулю.

1) Визначимо ступінь статичної невизначуваності:

Рис.120.

Кількість невідомих опорних реакцій дорівнює 2 (рис. 120).

Кількість рівнянь рівноваги, які не перетворюються у тотожний нуль – 1.

2) Складемо рівняння рівноваги:

. (1)

3) Складемо додаткове рівняння деформацій:

. (2)

4) За допомогою закону Гука перетворимо рівняння деформацій в рівняння відносно невідомих зусиль R₁ та R₂.

; ; .

Внутрішні зусилля N₁,N₂ та N₃, визначимо за допомогою методу перерізів:

Підставимо знайдені внутрішні сили в вираз ∆ l_i.

; ; .

5) Вирішимо систему рівнянь, яка складається з рівняння (1) та перетвореного рівняння (2).

;

;

;

.

.

.

Враховуючи, що , то

.