Контроль модели

Исходный вариант модели проверяется по следующим основным аспектам:

Все ли существенные параметры включены в модель?

Нет ли в модели несущественных параметров?

Правильно ли отражены функциональные связи между параметрами?

Правильно ли определены ограничения на значения параметров?

Такая предварительная проверка модели позволяет выявить грубые ошибки.

Если по результатам проверки адекватности выявляется недопустимое рассогласование модели и системы, возникает необходимость в корректировке модели.

Можно выделить следующие виды проверок:

проверка моделей компонентов;

проверка модели внешних воздействий (оценка гипотез математическими методами);

проверка концептуальной модели функционирования системы;

проверка математической модели;

проверка программной модели.

Контроль соответствия значений переменных их физическому смыслу: знаки и величины переменных модели не должны противоречить возможным значениям моделируемых физических величин.

Контроль размерностей: сравниваться и складываться могут только величины одинаковой размерности, эта проверка сочетается с контролем использования одной и той же системы единиц для значений всех параметров.

Контроль порядков: выделение основных и уточняющих слагаемых - сравниваются порядки складываемых величин и исключаются малозначимые параметры.

Контроль характера зависимостей между переменными: выявление качественного совпадения вида модельных зависимостей с видом аналогичных зависимостей в реальной системе (направления и скорость изменения выходных параметров модели соответствуют физическому смыслу моделируемой системы).

Контроль экстремальных ситуаций: в подобных ситуациях поведение модели должно совпадать с поведением системы.

Контроль граничных условий: проверка того, что граничные условия наложены, и значения выходных параметров модели удовлетворяют заданным условиям.

Контроль математической замкнутости: проверка того, что выписанная система математических соотношений дает возможность, притом однозначно, решить поставленную математическую задачу. Проверка замкнутости модели: число независимых уравнений должно быть равно числу искомых параметров задачи.

Например, если задача свелась к отысканию п неизвестных из некоторой системы алгебраических или трансцендентных уравнений, то контроль замкнутости состоит в проверке того факта, что число независимых уравнений должно быть п.

Оценка корректности задачи математической постановки задачи (задача, для которой решение существует, оно единственно и непрерывно). Решение считается непрерывным, если малому изменению исходных данных соответствует достаточно малое изменение решения.

Математическая модель является корректной, если для нее осуществлен и получен положительный результат всех контрольных проверок: размерности, порядков, характера зависимостей, экстремальных ситуаций, граничных условий, физического смысла и математической замкнутости.

Для замкнутой и корректно поставленной математической задачи, т.е. задачи, для которой решение существует, оно единственно и непрерывно зависит от исходных данных, число независимых уравнений должно быть равно числу искомых параметров. Решение считается непрерывным, если малому изменению исходных данных соответствует достаточно малое изменение решения.

Свойство математической замкнутости системы математических соотношений тесно связано с введенным Ж. Адамаром понятием корректно поставленной математической задачи, т.е. задачи, для которой решение существует, оно единственно и непрерывно зависит от исходных данных. В данном случае решение считается непрерывным, если малому изменению исходных данных соответствует достаточно малое изменение решения.

Например, численные методы решения оправдано применять лишь к корректно поставленным задачам. При этом далеко не все задачи, возникающие на практике, можно считать корректными (например, так называемые обратные задачи).

Доказательство корректности конкретной математической задачи – достаточно сложная проблема, она решена только для некоторого класса математически поставленных задач. Проверка математической замкнутости является менее сложной по сравнению с проверкой корректности математической постановки. В настоящее время активно исследуются свойства некорректных задач, разрабатываются методы их решения. Аналогично понятию «корректно поставленная задача» можно ввести понятие «корректная математическая модель».

Математическая модель считается корректной, если для нее осуществлен и получен положительный результат всех контрольных проверок: размерности, порядков, характера зависимостей, экстремальных ситуаций, граничных условий, физического смысла и математической замкнутости.

Контроль устойчивости модели: изменение в определенных пределах параметров модели не вызывает качественного изменения ее свойств. Причинами низкой устойчивости модели могут быть деление на малую по модулю величину, вычитание близких друг к другу приближенных значений величин, введение дополнительных параметров, известных с невысокой точностью.