Подготовка исходных данных для математической модели

Исходные данные для разработки математической модели содержат выявленные законы функционирования системы в виде операторов, параметры и переменные модели, условные обозначения, классификацию исходных данных на внешние и внутренние, постоянные и переменные, в зависимости от операторов и параметров модели. Определяются границы изменения для переменных количественных параметров, для дискретных величин – их возможные значения. Определяется необходимая точность решения задачи (например, путем экспертного анализа разумности результатов моделирования).

Если структура системы неизвестна, описание может формироваться с помощью подбора аппроксимирующих соотношений с той или иной полнотой отображающих поведение системы.

При этом единственной информацией, которой располагает исследователь, является вектор входных воздействий и соответствующий ему вектор реакций системы, а сама система представляется «черным ящиком». Принцип «черного ящика» может быть применен как к системе в целом, так и к отдельным ее компонентам. В последнем случае система описывается совокупностью взаимодействующих «черных ящиков», каждый из которых наделен определенными функциями, которые можно выявить в процессе изучения реакций при заданных воздействиях или задать априорно.

Исходные данные в общем случае могут быть детерминированными или стохастическими, не все параметры являются стационарными. Для систематизации значений случайных параметров необходим сбор статистических данных и их обработка для определения возможности представления каким-либо теоретическим законом распределения. При этом тоже возникают проблемы: распределение построено по малой выборке, информация представлена в качественной форме, имеются только агрегированные оценки, данные устарели или получены в другом месте или при других условиях, в выборке отсутствует часть данных.

Для количественных параметров необходимо определить их конкретные значения, которые будут использованы в виде исходных данных при моделировании.

Содержание концептуальной модели

Концептуальная модель содержит:

- выделение объекта из внешней среды (объект определяется как система), определение типа системы (отнесение системы к одному из известных классов), описание внешних воздействий;

- анализ взаимодействия системы с окружающей средой, выделение существенных факторов внешней среды, оказывающих влияние на систему (в виде гипотез);

- выявление существенных факторов и механизмов, влияющих на поведение системы, условия функционирования системы, формулировка функций, которые система должна выполнять;

- структура системы и основных ее компонентов;

- основные свойства системы, процессы, протекающие в системе, причинно-следственные отношения в системе или явлении, возможные последствия изменения этих отношений, связи системы, определяющие параметры системы и внешней среды;

- определение основных параметров, позволяющих описывать систему и процесс ее функционирования, введение идеализирующих предположений (формулируется совокупность гипотез о функционировании системы, предположения и допущения, диапазоны изменения параметров и факторов);

- выбор и формулировка законов, которым подчиняются явления и процессы в соответствии с выдвинутыми гипотезами, задание начальных условий и сведений, определяющих поведение системы.

- предварительное (доматематическое) изучение внутренних структурных и функциональных особенностей;

- исходные данные для разработки математической модели: точность расчетов, основные операторы, параметры и переменные модели, их классификацию, условные обозначения.

4.2 Разработка математической модели

Законченная концептуальная постановка позволяет сформулировать математическую постановку задачи моделирования процессов блоках модели.

Разработка математической модели включает следующие этапы:

- разработка функциональных соотношений;

- выбор метода решения задачи;

Разработка функциональных соотношений

Математическая модель представляет собой совокупность соотношений (например, уравнений, логических условий, операторов), определяющих характеристики процесса функционирования системы в зависимости от структуры системы, алгоритмов поведения, параметров системы, воздействий внешней среды, начальных условий и времени.

Составление математического описания состоит в установлении связей между параметрами процесса и выявлении его граничных и начальных условий, а также в формализации процесса в виде системы математических соотношений, характеризующих изучаемый объект (технологический процесс). Эти определяющие соотношения (суть любой математической модели) устанавливает исследователь. Ошибки в выборе или установлении определяющих соотношений приводят к количественно (а в некоторых случаях и качественно) неверным результатам моделирования.

Математическое описание составляется на основе материальных и энергетических балансов, ограничений, а также физических законов, определяющих особенности процесса. Ограничения могут быть обусловлены технологическими, техническими или экономическими причинами.

Совокупность математических соотношений, описывающих поведение и свойства объекта моделирования определяет вид оператора модели.

В большинстве случаев оператор модели включает в себя систему обыкновенных дифференциальных уравнений, дифференциальных уравнений в частных производных и/или интегродифференциальных уравнений. Для обеспечения корректности постановки задачи к системе уравнений добавляются начальные или граничные условия, которые, в свою очередь, могут быть алгебраическими или дифференциальными соотношениями различного порядка.

При разработке математических моделей их иерархия может строиться по принципам «от простого к сложному», и «от сложного к простому».

Для моделей сложных систем характерно: одна и та же информация оказывается необходимой для разных блоков моделей (модулей), при совместной их работе требуется видоизменение информации при передаче ее от одного блока к другому (т.е. интерфейсная адаптация). В связи с этим при моделировании сложной системы особое внимание уделяется способам хранения информации и организации информационных потоков.

«От простого к сложному»: создается цепочка (иерархия) все более полных моделей, каждая из которых обобщает предыдущие, включая их в качестве частного случая. Путь от простого к сложному дает возможность изучать все более реалистичные модели и сравнивать их свойства.

«От сложного к простому»: из достаточно общей и сложной модели при упрощающих предположениях создается последовательность все более простых (но имеющих уменьшающуюся область применимости) моделей – часто применяется в проектировании. Путь от общего к частному позволяет установить некоторые общие свойства системы, конкретизируя и дополняя их в частных ситуациях.

Основные задачи, решаемые на этапе разработки модели: алгоритмизация модели, выбор и обоснование метода решения задачи, реализация математической модели в виде программ для ЭВМ и уточнение модели.

На различных этапах моделирования составляются обобщенные и детальные логические схемы моделирующих алгоритмов, а также схемы программ.

Обобщенная (укрупненная) схема моделирующего алгоритма задает общий порядок действий при моделировании систем без каких-либо уточняющих деталей. Обобщенная схема показывает, что необходимо выполнить на очередном шаге моделирования.

Детальная схема моделирующего алгоритма содержит уточнения, отсутствующие в обобщенной схеме. Детальная схема показывает не только, что следует выполнить на очередном шаге моделирования системы, но и как это выполнить.

Логическая схема моделирующего алгоритма представляет собой логическую структуру модели процесса функционирования системы. Логическая схема указывает упорядоченную во времени последовательность логических операций, связанных с решением задачи моделирования.

Выбор метода решения задачи

Основные методы решения задач с помощью математической модели: аналитические или численные методы, имитационное моделирование.

Аналитические методы предполагают поиск искомых величин от исходных параметров модели в виде аналитических выражений. Аналитическое выражение (формула) – совокупность действий, которые нужно проделать в определенном порядке над значением аргумента и константами, чтобы получить значение функции.

Для использования аналитических методов необходимо математическую модель преобразовать к виду явных аналитических зависимостей между характеристиками и параметрами системы и внешних воздействий. Однако это удается лишь для сравнительно простых систем и при наличии хорошо разработанной теории исследуемых объектов.

Аналитическое выражение каждой функции одного переменного строится лишь из трех действий – сложение, умножение, переход к пределу.

При использовании аналитических моделей процессы функционирования элементов сложной системы записываются в виде, некоторых функциональных соотношений (алгебраических, и: интегро-дифференциальных, конечно-разностных и т.п.) или логических условий.

Аналитическая модель может исследоваться одним из следующих способов:

- аналитически, - когда получают в общем виде явные зависимое для искомых величин;

- численно, - когда, не имея решения уравнений в общем виде применяют средства вычислительной техники, чтобы получить числовые результаты при конкретных начальных данных;

- качественно, - когда, не имея решения в явном виде, можно: найти некоторые свойства решения, например, оценить устойчивое решения и т. п.

Для получения численных результатов разрабатываются соответствующие алгоритмы, реализуемые на ЭВМ.

Аналитические методы дают возможность выявить основные зависимости и определить направления дальнейших исследований. Во имя этого иногда сознательно идут на умышленное отступление от первоначальной модели, на упрощение и загрубление ее ради получения аналитических зависимостей и возможности решения задачи хоть и приближенного, но отражающего основные закономерности.

Аналитические методы более удобны для последующего анализа результатов, но применимы лишь для относительно простых моделей.

Численные методы: первоначальная математическая модель преобразуется в систему уравнений, к которым применяется некоторый численный метод. С их помощью находятся точные решения небольшого числа частных реализаций процесса.

Общим для всех численных методов является сведение математической задачи к конечномерной. Это чаще всего достигается дискретизацией исходной задачи, т.е. переходом от функции непрерывного аргумента к функции дискретного аргумента. В результате получается приближенной решение задачи, имеющее определенную погрешность.

Выделяют три основных составляющих возникающей погрешности:

-неустранимая погрешность, связанная с неточным заданием исходных данных (начальные и граничные условия, коэффициенты и правые части уравнений;

-погрешность метода, связанная с переходом к дискретному аналогу;

-ошибка округления, связанная с конечной разрядностью чисел, представляемых в ЭВМ,

Численный метод в общем случае по своей логической структуре весьма далек как от математической модели, так и от процесса-оригинала. Логическая структура метода и характер фигурирующей информации обусловлены скорее типом тех уравнений, к которым удалось свести первоначальную математическую модель. Численный метод всегда реализуется в виде вычислительного алгоритма.

Существует огромное разнообразие численных методов: интерполяция, численное дифференцирование, численное интегрирование, решения систем линейных и нелинейных уравнений, задачи Коши и краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений, интегральных уравнений, уравнений в частных производных и т.д. Это предполагает выбор метода с позиций эффективности, устойчивости, точности решения конкретной задачи (чаще всего определяется установившимися предпочтениями исследователя и его математической культурой – неформализуемо, как и вся вычислительная математика).

При моделировании сложных процессов далеко не всегда можно модель преобразовать в систему уравнений, пригодную для применения численных методов.

Для модели, сформулированной в терминах интегральных и дифференциальных уравнений функций непрерывного аргумента, осуществляется переход к дискретной модели - функции непрерывного аргумента заменяются функциями дискретного аргумента, интегральные и дифференциальные уравнения заменяются конечно-разностными. При этом интеграл заменяется конечной суммой, производная – разностным отношением, что приводит к погрешности результатов решения задачи.

Имитационное моделирование – численный метод исследования свойств системы, путем воспроизведения процесса ее функционирования с помощью вычислительного эксперимента с математической моделью системы – свойства системы определяются на основании анализа накопленного статистического материала. При имитационном моделировании динамические процессы системы – оригинала подменяются процессами, имитируемыми в абстрактной модели, но с соблюдением таких же соотношением длительностей и временных последовательностей отдельных операций.

При использовании имитационных моделей, в отличие от аналитических, в ЭВМ воспроизводится текущее функционирование системы в некотором масштабе времени. При этом требует воспроизводить входные воздействия в виде наборов чисел — реализаций процессов (а не числовых характеристик, как при аналитическом моделировании).

Одно из основных достоинств имитационных моделей — возможность моделирования даже в тех случаях, когда аналитические модели либо отсутствуют, либо (из-за сложности системы) не дают практически удобных результатов. Имитационное моделирование позволяет учесть влияние большого числа случайных и детерминированных факторов, а также сложных зависимостей при вводе в модель соответствующих элементов и операций.

При имитационном математическом моделировании явлений и процессов сохраняется их логическая структура, последовательность чередования событий во времени. Каждый акт воспроизведения течения процесса называется имитационным экспериментом.

Методами имитационного моделирования анализируется функционирование сложных систем, исследования которых практически невозможно другими методами: системы, подверженные случайным возмущениям, различные варианты управления системами, взаимодействие систем.

Проверка и корректировка модели

Проверка модели включает оценку чувствительности модели к изменению исходных данных, адекватности модели (соответствие поведения модели и реальной системы) и достоверности модели (верификация – проверка того, что модель отвечает заданным ей требованиям).

По результатам проверки модели определяется соответствие принятых существенных факторов, гипотез и допущений заданной точности решений. При необходимости модель корректируется.