Установление функциональных зависимостей

После перехода от описания моделируемой системы к ее модели, построенной по блочному принципу, необходимо построить математические модели процессов, происходящих в различных блоках.

Математическая модель представляет собой совокупность соотношений (например, уравнений, логических условий, операторов), определяющих характеристики процесса функционирования системы в зависимости от структуры системы, алгоритмов поведения, параметров системы, воздействий внешней среды, начальных условий и времени. Это основной (неформальный) этап построения модели. На этом этапе выбирается вид модели.

Исходным материалом для построения математической модели процесса функционирования системы является его содержательное описание. Для моделирования процесса функционирования системы на ЭВМ необходимо преобразовать математическую модель процесса в компьютерную модель - соответствующий моделирующий алгоритм и машинную программу.

Для каждого компонента системы существует функциональная связь между параметрами входных воздействий и выходными характеристиками. Иногда вид функциональной зависимости может быть легко выявлен. Однако для некоторых компонентов удается получить лишь экспериментальные данные по входным параметрам и выходным характеристикам.

Основное требование – соответствие свойств математической модели (линейная – нелинейная, непрерывная – дискретная, детерминированная – стохастическая, статическая – динамическая, стационарная – нестационарная) свойствам реального объекта.

Поскольку все дальнейшие исследования реального объекта проводятся на его модели, невыполнение этого может привести к ошибкам, связанным с приписыванием объекту свойств его математической модели (неадекватность модели объекту).

При проектировании новой системы отсутствует возможность сбора фактических данных. Для таких параметров выдвигаются гипотезы об их возможных значениях.

Процесс функционирования системы можно рассматривать как последовательную смену её состояний Z = Z (z₁(t), z₂(t), …, z_n(t)) в n –мерном пространстве. Очевидно, что задачей моделирования процесса функционирования исследуемой системы является построение функций Z, на основе которых можно провести вычисление интересующих характеристик процесса функционирования системы. Для этого должны иметься соотношения, связывающие функции Z с переменными, параметрами и временем, а также начальные условия Z⁰ = Z (z₁(t₀), z₂(t₀), …, z_n(t₀)) в момент времени t = t₀.

При рассмотрении процессов функционирования некоторых систем можно обнаружить, что для них характерны два типа состояний:

- особые, присущие процессу функционирования системы только в некоторые моменты времени (моменты поступления входных или управляющих воздействий, возмущений внешней среды и т.п.);

- неособые, в которых процесс находится всё остальное время.

Особые состояния характерны тем обстоятельством, что функции состояний z_i(t) ()в эти моменты времени изменяются скачком, а между особыми состояниями изменение координат z_i(t) происходит плавно и непрерывно или не происходит совсем. Таким образом, следя при моделировании системы только за ее особыми состояниями в те моменты времени, когда эти состояния имеют место, можно получить информацию, необходимую для построения функций z_i(t). Очевидно, что для описанного типа систем могут быть построены моделирующие алгоритмы по «принципу особых состояний».

Основными принципами построения моделирующих алгоритмов являются «принцип Dt» и «принцип dz».

ПринципDt («принцип приращения времени») – это наиболее универсальный принцип, позволяющий определить последовательные состояния процесса функционирования системы через заданные интервалы времени Dt. Но с точки зрения затрат машинного времени он иногда оказывается неэкономичным.

Обозначим скачкообразные (релейные) изменения состояния z как dz, а «принцип особых состояний» – как «принцип dz».

Принципdz даёт возможность для ряда систем существенно уменьшить затраты машинного времени на реализацию моделирующих алгоритмов по сравнению с «принципом Dt». Логика построения моделирующего алгоритма, реализующего «принцип dz», включает в себя процедуру определения момента времени t_d, соответствующего следующему особому состоянию системы.

Для исследования процесса функционирования больших систем рационально использование комбинированного принципа построения моделирующих алгоритмов, сочетающего в себе преимущества каждого из рассмотренных принципов.

Неопределенность функционирования системы

Особенности моделирования процесса функционирования, которые определяют специфику построения математических моделей - наличие разного рода неопределенностей, физических и критериальных ограничений. Могут быть неопределенности не только природного характера, - например, неопределенности, обусловленные нечеткостью или противоречивостью целей самой оперирующей стороны - проектанта (например, желание достичь максимального эффекта при минимальных затратах).

Объективно существует неопределенность совокупности объектов и их взаимодействия с системой.

На этапе проектирования обычно задаются типовые совокупности объектов, типовые их взаимодействия, имеющие условный характер, но своими характеристиками охватывающие весь диапазон значений характеристик реальной обстановки (анализируется на основе информационно-аналитического обеспечения и базы данных).

Примеры неопределенностей (неизвестны будущие условия применения или использования систем):

- запуск космического корабля для исследования планеты (неизвестны условия внешней среды – условия функционирования аппарата, что значительно влияет на конструкцию и выбор оптимальных ее параметров);

- ассортимент предметов и товаров: для путешествия, для распродажи на ярмарке;

- выбор оптимального маршрута (запаса топлива, расстояния) при неизвестных погодных условиях;

- проектирование (неопределенность цели, стохастическая неопределенность): система аварийного ремонта технических устройств, система сооружений, защищающих от паводков, системы вооружений;

- распределение ресурсов: система перевозки пассажиров или грузов, максимум производства с минимумом затрат (распределение удобрений в сельхозпроиизводстве).

Формализация условий функционирования с учетом внешней среды – составление схемы функционирования, задание действий системы.

Виды неопределенностей

Описания явления, процесса, объекта могут иметь различного вида неопределенности: недостаточность информации, недостоверность описания, неоднозначность описания.

Неопределенность понимается в том смысле, что характеристики системы и среды находятся в условиях приближения и неполноты информации. Это могут быть неопределенности постановки задачи, выявления факторов внешней среды и степени влияния каждого фактора.

При исследованиях и решении задач с помощью математического моделирования (исследования явлений и процессов, проектирования, описания технологических процессов т.п.) уже на стадиях содержательной и концептуальной постановки задачи необходимо выяснить, насколько однозначно определены параметры и связи, в том числе с внешней средой.

Решение проблемы неопределенности связано с классификацией неопределенностей и с выяснением причин возникновения неопределенностей. Причины возникновения неопределенности могут субъективного и объективного характера.

При построении модели выбор наиболее существенных для цели исследований параметров объекта и факторов внешней среды всегда субъективен и неформализуем.

Например, при моделировании технологического процесса к субъективным причинам возникновения неопределенностей можно отнести квалификацию работников, к объективным причинам – неопределенность свойств материалов, геометрических характеристик заготовок, характер износа инструмента, ошибки измерений.

К субъективным причинам может быть отнесено принятие решения о линеаризации модели, что приводит к математическим погрешностям.

Недостаточность информации – для различных характеристик системы, параметров явления или процесса информация может быть разной степени полноты, каждая из которых по разному влияет на решение задачи моделирования.

Недостоверность описания связана, прежде всего, с неадекватностью модели (например, некоторые элементы могут быть описаны по аналогам, что не всегда отвечает целям исследований).

Неоднозначность описания может иметь физическую или лингвистическую неопределенность.

Физическая неопределенность связана или с физической сущностью явления, процесса, объекта или с его измеряемыми проявлениями. Физическая неопределенность обуславливается как наличием нескольких возможностей, каждая из которых может реализовываться произвольным или случайным образом, так и неточностями измерений величин.

Лингвистическая неопределенность связана с использованием естественного языка и порождается множественностью значений слов или неоднозначностью смысла фраз.

Множественность значений слов понимается как омонимия (одним и тем же словом описываются различные физические объекты) и нечеткость описания (например, использование слова "несколько").

Неоднозначность смысла фраз может порождаться синтаксической ("казнить нельзя помиловать") или семантической (непонятность смысла слов или фраз) неопределенностью.

Неопределенность цели.

Частные показатели эффективности могут быть несогласованными - увеличение одних может привести к уменьшению других, что делает задачу принятия решения противоречивой и неоднозначной (многокритериальная задача принятия решения в условиях неопределенности).

Неопределенность объектов, на которые направлены действия систем, действий реального противника или партнера.

В операции может участвовать много оперирующих сторон (людей или автоматов), причем, каждая из них стремиться достичь своей цели и имеет для этого определенные возможности (активные средства) и набор стратегий.

Природные неопределенности.

При переходе к математической постановке возникает проблема описания неопределенностей.

Если при постановке задачи исследования принято решение об однозначном описании в модели явления (процесса), и связи определены единственно возможным образом, то применяется четкое описание – все характеристики считаются детерминированными и связи между переменными - однозначными. В противном случае в зависимости от целей исследования и требуемой полноты описания можно использовать различные математические подходы описания неопределенностей.

Математически неопределенность может быть описана стохастически или с позиций нечетких множеств.

Стохастические неопределенности - неопределенные факторы представляют собой случайные величины с какими-то известными вероятностными характеристиками – законами распределения, математическими ожиданиями и др. Тогда показатель эффективности, зависящий от этих факторов, тоже будет случайной величиной.

Максимизировать случайную величину невозможно: при любом решении она остается случайной, неконтролируемой. Один из возможных подходов – замена случайных факторов их средними значениями (математическими ожиданиями). В этом случае задача становится детерминированной и может быть решена обычными методами. Эта задача неформальная – важно определить степень влияния случайности на исход операции. Такая замена правомочна при малой степени влияния случайности неопределенной величины на исход операции.

Под термином "случайное явление" понимается явление, относящееся к классу повторяемых явлений и обладающее свойством статистической устойчивости. При повторении однородных опытов, исход которых случаен, их средние характеристики проявляют тенденцию к устойчивости, стабилизируются.

При замене случайной величины показателя эффективности средним значением (математическим ожиданием) каждая отдельная операция при конкретных значениях случайных факторов может сильно отличаться от ожидаемой как в большую, так и в меньшую сторону. Такая замена возможна только при условии многочисленных повторений операции – в этом случае проигрыши в одних случаях компенсируется выигрышами в других.

Но и здесь могут встретиться трудности: алгоритм решения, настроенный на минимизацию среднего значения, может не дать возможности выполнить операцию для случаев, резко отличных от среднего значения (например, в системах массового обслуживания). Для исключения такой ситуации вводятся стохастические ограничения на показатель эффективности (в виде дополнительных требований выполнения операции в заданных пределах с очень большой вероятностью), что сильно усложняет задачу оптимизации.

Вероятностные характеристики неопределенных факторов в принципе могут существовать, но к моменту принятия решения неизвестны (например, при проектировании систем массового обслуживания неизвестны вероятностные характеристики потоков).

В такой ситуации система создается поэтапно: решения выбираются на основании средних значений случайных факторов со стохастическими ограничениями, при этом некоторые элементы решения остаются свободными. На основании этого создается приближенный вариант системы, проводится ее опытная эксплуатация, при которой накапливаются необходимые статистические данные, затем принятые решения пересматриваются с учетом уже известных вероятностных характеристик. Такие, совершенствующиеся в процессе применения алгоритмы управления, называются адаптивными.

Нестохастические неопределенности – для неопределенных факторов вообще не существует вероятностных характеристик (неопределенности нестохастического вида).

Такие неопределенности часто встречаются при прогнозировании внешних условий (условий применения) проектируемой системы.

Неопределенность функционирования системы обусловлена многими факторами, среди которых могут быть выделены основные:

- цели, природы (недостаточная изученность каких-либо процессов);

- объектов, на которые направлены действия системы (объектов обслуживания),

- действий реального "противника" (конкурента) или партнера, преследующего свою цель и обладающего своими управляющими параметрами (активными средствами);

- методические неопределенности.

Методические неопределенности:

- методическая неопределенность, связанная с неадекватностью математической модели реальным условиям;

- нечеткость формировании возможных стратегий применения системы;

- нечеткость задания условий функционирования.

В основе уменьшения неопределенности лежит анализ всевозможных условий применения систем (сценарии), определение диапазона их неопределенности, прогноз развития условий применения на весь период жизненного цикла.

Сценарии применения системы

При определении условий функционирования системы главной трудностью является неопределенность внешней среды.

Сценарий – качественное описание возможного использования системы в будущих условиях внешней среды в принятых допущениях о возможной прогнозной ситуации.

Цель разработки сценариев – подготовка информации для разработки прогноза развития системы и принятия управленческих решений по выработке стратегии ее проектирования и концепции системы.

Создание сценариев относится к типичным неформализуемым процедурам, тем не менее, в этой области накоплен определенный опыт, имеются свои эвристики. Например: крайние оценки (наихудший и наилучший случаи) – верхний и нижний уровни.