Тепловые шумы

Проведем теперь расчет величины спектральной плотности Su шумовой ЭДС на сопротивлении R, вызванной тепловым движением электронов в проводнике, находящемся при температуре Т. Докажем теорему Найквиста.

Доказательство см. рис. 7.1.

Тепловой шум может быть описан с помощью среднеквадратичной ЭДС [ S_U(0)Df ]^1/2, включенной последовательно с сопротивлением R. Это генератор шумового напряжения, который является источником ЭДС всех частот. Такой генератор называется генератором белого шума. Его принято характеризовать спектральной плотностью напряжения S_U(0)Df, которую нужно найти. Если шум белый, т. е. его спектральная плотность не зависит от частоты, то S_U(f) = const. Если рассмотреть цепь RC, показанную на рис. 7.1, то можно заметить, что напряжение Uс на конденсаторе С. при U=U_oe^iwt будет

Отсюда видно, что частотный интервал df дает вклад

в средний квадрат напряжения U²_С на конденсаторе С. Следовательно,

где x=wRC.

По закону о равномерном распределении энергии по степеням свободы

Следовательно,

Если бы шум был представлен среднеквадратичным током [ S_I(0)Df ]^1/2 эквивалентного генератора тока, включенного па­раллельно схеме, то

где g=l/R.

Уравнения (7.15) и есть формула Найквиста. Здесь Df — полоса частот, пропускаемая схемой или измерительным прибором; k — постоянная Больцмана; U — действующее значение составляющих напряжения шума на сопротивлении R, частоты которых заключены в полосе Df; T — абсолютная температура. Из формулы следует, что спектр флуктуации равномерный и что тепловой шум является примером идеального белого шума. Однако, строго говоря, эта формула годится не для всех частот. Она справедлива вплоть до частот инфракрасного диапазона при комнатных температурах. Если hf/kT становится сравнимо с единицей, то необходима квантовая модификация этой формулы, которая приводит к

где h — постоянная Планка, h = 6,62×10^-34 Дж-с.

При нормальной комнатной температуре даже для миллиметровых волн неравенство hf/kT <1 практически выполняется

Tак как l = 3 см соответствует частоте f=1010 Гц, то условие применимости формулы Найквиста выполняется на этих частотах при температуре жидкого гелия, но не выполняется на частотах, соответствующих длинам волн миллиметрового диапазона для гелиевых температур.

Квантовая поправка возникает потому, что колебательная цепь, настроенная на частоту f, может рассматриваться как гармонический осциллятор с частотой f. Для низких частот hf<kT средняя энергия гармонического осциллятора равна kT, а на более высоких, когда hf>kT, средняя энергия равна

так как гармонический осциллятор может принимать лишь определенные значения энергии

Таким образом, средняя энергия шума, рассчитанная на низших частотах, должна умножаться на планковский множитель и, следовательно, на этот же коэффициент надо умножить выражение (7.13).