Арифметические основы ЦВМ. Системы счисления

Системой счисления называется метод изображения любых чисел с помощью ограниченного количества цифр. Системы счисления бывают позиционными и непозиционными. В позиционных системах счисления значение каждой цифры числа определяется позицией, которую эта цифра занимает по отношению к запятой. В непозиционных системах счисления это правило не действует. Примером непозиционной системы счисления является римская система счисления. Например, в числах IV, VI, в первом числе 1 имеет значение “-1”, во втором числе “+1”. В дальнейшем будем рассматривать только позиционные системы счисления.

Возьмем какое либо десятичное число, например, 384,56₁₀ и представим его в подробном виде:

Здесь 3,8,4,5,6 – коэффициенты (цифры) числа, а 10², 10¹, 10⁰, 10^-1, 10^-2 – веса соответствующих разрядов, образующие геометрическую прогрессию. Знаменатель прогрессии, т.е. частное от деления веса одного разряда к весу соседнего справа разряда, называется основанием системы счисления. Количество цифр равно основанию. В случае десятичной системы счисления основание 10, в системе 10 цифр: 0,1,2,3….9.

Таким образом любое n-разрядное десятичное число N, имеющее m разрядов в целой части, можно представить в виде:

(2.4)

Для приведенного выше числа n=5, m=3, a₁=3, a₂=8, a₃=4, a₄=5, a₅=6

Наряду с десятичной возможна система счисления с любым основанием в виде целого числа q. В ЦВМ используются двоичная, восьмеричная, шестнадцатеричная системы счисления.

По аналогии с (2.4) любое число N в q-ичной системе счисления можно представить в виде:

Nq=a_iq^m-1+a₂q^m-2+…+a_mq⁰+a_m+1q+…+a_n q^m-n, (2.5)

где коэффициенты (цифры) a_i, могут принимать целые значения от 0 до q-1, причем количество цифр равно q.

Так, в двоичной системе счисления всего 2 цифры: 0 и 1. Например, .

В восьмеричной системе счисления 8 цифр: 0,1,2…7. Например,

В шестнадцатеричной системе 16 цифр: 0,1,2,…8, 9, A, B, C, D, E, F, где A=10, B=11, C=12, D=13, E=14, F=15. Например,

В таблице 2.1 приведены эквиваленты десятичных цифр в различных системах счисления.

Десятичная цифра	Эквивалент в других системах счисления с основанием

Табл. 2.1