Примеры решения задач. Определение. Скалярным произведением ненулевых векторов называется число ;

Определение. Скалярным произведением ненулевых векторов называется число;.

Свойства скалярного произведения:

1) (переместительное);

2) (сочетательное относительно числового множителя);

3) (распределительное относительно суммы векторов).

Если , то , .

Условие перпендикулярности векторов : .

Длина вектора : .

Физический смысл скалярного поизведения: если вектор представляет силу, точка приложения которой перемещается из начала в конец вектора , то работа А этой силы определяется равенством .

Примеры решения задач

Задача 1. Определить длины диагоналей параллелограмма, построенного на векторах и , где таковы, что .

Решение. Диагонали параллелограмма есть векторы и . Вычислим длину вектора : .

Аналогично вычисляется длина вектора .

Задача 2. Найдите вектор , коллинеарный вектору и удовлетворяющий условию .

Решение. Обозначим вектор , тогда из условий задачи

или ,

тогда . Итак: .

Задача 3. Найти проекцию вектора на направление вектора .

Решение. . По формуле проекции вектора на ось будет иметь место равенство

.

Задача 4. Даны векторы: .

Проверить, есть ли среди них коллинеарные. Найти .

Решение. Условие коллинеарности имеет вид . Этому условию удовлетворяют векторы . Следовательно, они коллинеарны. Найдем длины

векторов : .

Угол между векторами определяется по формуле .

Тогда , .

Используя формулу , получим .

Задача 5. На материальную точку действуют силы . Найти работу равнодействующей этих сил при перемещении точки из положения в положение .

Решение. Найдем силу и вектор перемещения . , тогда искомая работа .