Развитие понятия натурального числа

Рассматривая вопрос формирования понятия натурально­го числа у детей, нужно иметь четкое представление о разви­тии этого понятия в историческом аспекте - филогенезе. Изу­чение истории математики, в частности периода ее зарожде­ния, дает возможность понять основные закономерности возникновения первых математических понятий: о множе­стве, числе, величине, об арифметических действиях, систе­мы счисления и др. и использовать эти закономерности с уче­том передового педагогического опыта и современных иссле­дований по разным проблемам обучения математике.

Как показывают научные данные по истории математи­ки, понятие натурального числа возникло на ранних стадиях развития человеческого общества, когда в связи с практи­ческой деятельностью возникла потребность как-то количе­ственно оценивать совокупности. Сначала количество эле­ментов в множествах не отделялось от самих множеств, вос­принималось и удерживалось в представлении человека со всеми качествами, пространственными и количественными признаками. Человек не только оценивал совокупность по отношению к ее целостности (все или не все предметы есть), а мог сказать, каких именно предметов не хватает. Часто совокупность удерживалась в представлении именно пото­му, что отдельные предметы четко отличались по своим при­знакам.

На этой стадии развития понятие числа представляло со­бой также отдельные числа-свойства и числа-качества конк­ретных совокупностей предметов. Сейчас уже нет народов, счет которых остановился бы на первой стадии - чисел-свойств.

С развитием социально-экономической жизни общества человеку приходилось не только воспринимать готовые со­вокупности, но и создавать совокупности определенного ко­личества. Для этого предметы определенной совокупности по одному сопоставлялись непосредственно с предметами ругой совокупности или непосредственно с помощью не­которого эталона - зарубок, узелков, части тела человека и др. Потом с помощью такого же сопоставления создавалась новая совокупность. Так практически человек овладевал опе­рацией установления равенства, взаимно-однозначного со­ответствия.

Существенным в этом процессе является то, что разные величины приводятся в соответствие с одним стандартным множеством, например с определенным количеством частей тела человека. Это и было необходимой предпосылкой пере­хода к счету. Однако число как общее свойство равночислен­ных множеств еще не воспринималось. Человек не называл число, а говорил: столько, сколько пальцев на руке, и т.д. Этот период в истории развития натурального числа называ­ется стадией счета на пальцах.

На этой стадии счет обычно начинали с мизинца левой руки, перебирали все пальцы, потом переходили к запяс­тью, локтю, плечу и т.д. до мизинца правой руки, после чего, если совокупность не исчерпывалась, шли в обратном порядке.

Для проведения арифметических операций человек ис­пользовал камешки или зерна маиса. Число воспринималось как то общее, что имеют между собой равночисленные со­вокупности. Несмотря на необычную примитивность этого способа счета, он сыграл исключительную роль в развитии понятия числа. Существенной чертой этого способа является то, что все пересчитываемые множества отображаются с по­мощью одной системы, приведенной с ними в соответствие.

В процессе развития общества все больше и больше сово­купностей приходилось пересчитывать, простое установле­ние равночисленности и счета на пальцах уже не могло удов­летворять новых потребностей общества. Но ограничение ряда чисел не давало возможности вести счет значительно боль­ших совокупностей.

Следующий этап развития счета и понятия натурального числа связан с зарождением системы счисления, которая опирается на группировку предметов при счете. Новую сис­тему счета можно назвать групповой, или счетом с помо­щью чисел-совокупностей. Идея считать группы была под­сказана самой жизнью: некоторые предметы всегда встреча­ются на практике постоянными группами (парами, тройками, десятками, пятерками).

Числа-совокупности стали прообразами наших узловых чисел. Эту стадию развития числовых представлений пере­жило все человечество. Во всех языках, в том числе и сла­вянском, есть такие грамматические формы, как единич­ная, двойственная и множественная. Слово, которое обозна­чает количество, имеет различное значение в зависимости от того, идет ли речь об одном, двух или большем количестве предметов. В некоторых языках есть особая форма тройствен­ности. Эти речевые формы - пережитки той отдаленной эпохи развития, когда человечеством были освоены только числа «один», «два» и «три».

Под влиянием обмена одна из групп предметов становит­ся мерой для других, своеобразным эталоном. С этой группой начинают сравниваться и другие. Выделение группы, которая использовалась для сравнения других, постепенно привело к тому, что позднее начала осознаваться количе­ственная сторона этой группы. Количественная характерис­тика группы предметов постепенно приобретает самостоя­тельное значение. Так возникло понятие числа и его назва­ние, т.е. понятие о конкретных числах. Числа использовались, прежде всего, для практических целей людей: счет скота, шкур и др. Постепенно эти числа начали использоваться для пересчитывания некоторых множеств. Первые числа были своеобразными «островами», опреде­ленными ориентирами в счете. Счет велся пятерками, десят­ками, дюжинами некоторых предметов. Узловые числа - это числа, которые имеют индивидуальные, не раскладывающиеся на составные чис­ла, названия. Остальные числа называют алгорифмическими. Они возникли намного позже и совершенно по-другому. Алгорифмические числа появились в результате операций с узловыми числами. Это своеобразные соединительные нити между узловыми числами.

Операции с числами сначала были не арифметическими, а двигательными. Следы этого сохранились во многих язы­ках, в том числе и в русском языке. Так, числа от одиннад­цати до девятнадцати произносятся как соответствующее число единиц, положенных на десять.

Постепенно определился последовательный ряд натураль­ных чисел. Основную роль в создании алгорифмических чи­сел играла операция сложения (прибавления), хотя иногда использовалось и вычитание, еще реже умножение.

Однако числовой ряд на этой стадии еще не был одно­родным и бесконечным. Долгое время он был ограниченным (конечным). Последними числами в ряду были и 3, и 7, и 12, и 40 и др. Наибольшее освоенное число натурального ряда, которое граничило с бесконечностью, часто приобре­тало особый ореол необыкновенного и, очевидно, было ос­новой для возникновения запретов, связанных с этими чис­лами. Некоторые из этих поверий сохранились до настояще­го времени, такими числами были: 7, 13, 40 и др.