Корреляционный анализ. Корреляция, форма зависимости между числовыми случайными величинами, состоящая в том, что в зависимости от изменения одного признака меняется средняя величина

Корреляция, форма зависимости между числовыми случайными величинами, состоящая в том, что в зависимости от изменения одного признака меняется средняя величина значений других признаков. В отличие от функциональной зависимости, при которой определенному значению одного признака соответствует строго определенное одно или несколько значений другого признака, корреляционная зависимость между двумя случайными событиями проявляется в том, что вероятность проявления одного из них при наступлении другого не является безусловной.

Следует иметь в виду, что первоначальная связь переменных может отражать ложную корреляцию, когда связь между двумя переменными может быть вызвана какой-то другой переменной. Например, перенаселенность и преступность связаны между собой, и изменяются вместе, что может свидетельствовать о наличии некого третьего фактора. Таким фактором может быть бедность, низкий уровень жизни.

Корреляционный анализ позволяет выявить тип, форму и тесноту (плотность) связи.

По типу корреляционные связи подразделяют на прямые и обратные. При прямой связи с увеличением (уменьшением) значений одного признака средние значения другого признака также возрастают (убывают). При обратной связи увеличение (уменьшение) одного признака вызывает уменьшение (увеличение) другого.

Графическое выражение прямой и обратной связи.

По форме корреляционные связи делятся на прямолинейные и криволинейные.

Важным показателем корреляции является теснота (плотность) связи, сопряженности между двумя явлениями, признаками, величинами. Связь считается тесной, если каждому значению одного признака соответствуют близкие друг другу, тесно расположенные около средней величины значения другого признака. Связь считается менее тесной, если значения признаков сильно отклоняются от своей средней.

Графическое выражение тесноты (плотности) связи.

Рис. Корреляционное поле с высокой теснотой связи Рис. Корреляционное поле с низкой теснотой связи

Для характеристики корреляционных связей используют коэффициенты корреляции. Коэффициент корреляции есть мера линейной зависимости между двумя или несколькими случайными величинами. Значения коэффициента корреляции колеблются от - 1, до +1. Знак «плюс» указывает на прямую, а знак «минус» - на обратную связь. Чем ближе значение коэффициента приближается к единице, тем более тесная зависимость обнаруживается между признаками. При отсутствии связи коэффициент корреляции равен нулю.

Коэффициент ассоциации Д.Юла. Применяется в социологических исследованиях при определении степени тесноты связи между качественными признаками, каждый из которых представлен в виде альтернативных признаков. Расчетная таблица состоит из четырех ячеек, каждая из которых соответствует альтернативе того или иного признака.

Переменная Y	Переменная X
		Всего
	a	b	a + c
	c	d	c + d
Всего	a + c	b + d	n

Коэффициент ассоциации Q определяется по формуле

ad - bc

Q = ^{______________}.

ad + bc

Пример. Определить зависимость удовлетворенности профессией от пола респондентов на основе коэффициента Юла.

Удовлетворенность профессией	Мужчины	Женщины
Удовлетворен	320 (a)	370 (b)
Неудовлетворен	130 (c)	432(d)
Итого

В приведенном примере коэффициент Юла будет равен + 0.488

(320 * 432) – (370 * 130) 91868

Q = ^{_________________________________} = ^__________ = + 0.488

(320 * 432) + (370 * 130) 188068

Что следует из полученных данных? Несмотря на различие мнений об удовлетворенности своей работой мужчин и женщин, величина коэффициента соответствует среднему размеру связи и свидетельствует о наличии существенной прямой связи между удовлетворенностью трудом и полом респондента. Но значение коэффициента нельзя трактовать в том смысле, что практически каждый второй респондент удовлетворен трудом.

Коэффициент ранговой корреляции Спирмена- непараметрический метод, который используется с целью статистического изучения связи между явлениями. В этом случае определяется фактическая степень параллелизма между двумя количественными рядами изучаемых признаков и дается оценка тесноты установленной связи с помощью количественно выраженного коэффициента.

Для расчета коэффициента Спирмена необходимо выполнить следующие операции:

1) Присвоить каждому из признаков их порядковый номер (ранг) по возрастанию (или убыванию).

2) Определить разности рангов каждой пары сопоставляемых значений.

3) Возвести в квадрат каждую разность полученных значений и суммировать полученные результаты.

4) Вычислить коэффициент корреляции рангов по формуле:

6 åd²

r = 1 - ^__________

n (n² - 1), где åd² - сумма квадратов разностей рангов,

n - число парных наблюдений.

Коэффициент ранговой корреляции равный 0,3 и менее свидетельствует о слабой тесноте связи, от 0, 4 до 0,7 – показателем умеренной тесноты связи, а более 0,7 – показателем высокой тесноты связи.

Для вычисления коэффициента ранговой корреляции Спирмена данные каждой пары наблюдений вводят в графы таблицы. Существует компьютерная версия вычисления коэффициента Спирмена.

Исходные данные.

№	X (ранг значимости)	Y (ранг значимости)	X-Y	(X-Y)2 в квадрате
			- 7
n
сумма квадратов

Так, например, исследование ценностных ориентаций школьников г. Архангельска проведенное Центром медико-социальной и психолого-педагогической помощи детям и подросткам «Леда» в 2005 году (Рук.В.В.Бедрина) зафиксировало весьма тесную связь между представлениями школьников об идеальных качествах, которыми должен обладать современный молодой человек, и реальным обладанием на основе самооценки. Коэффициент корреляции Спирмена составил r=0,91 p<0,001. Это свидетельствует о стремлении школьников идентифицировать себя с идеалом современного молодого человека и открывает перед педагогами и родителями широкие возможности для оказания детям помощи в освоении идеальных ценностей.