Представление СМО в виде агрегата

I. Постановка задачи:

Рассматривается одноканальная СМО с ограничением на время ожидания для заявки. Входной поток определяется моментом поступления заявок t_j, где t_j задается через интервалы между поступлениями заявок и является СВ с заданным законом распределения. Кроме этого есть a_j - это параметр каждой заявки, a_j - СВ с условным законом распределения f (a / t).

Если канал занят, то заявка становится в очередь и ждет не больше, чем t_j^ож. И в общем случае это ожидание зависит от входной характеристики a_j и управления g_s:

t_j^ож = j (a_j, g_s)

t_j^ож - это СВ с заданным законом распределения;

g_s - это СВ, имеющая условный закон распределения f (y_s, t).

Задается t_j^обсл = y (a_j, g_s), где t_j^обсл - это СВ с заданным законом распределения.

II. Определяем состояния, которые будут характеризовать СМО.

Z(t) = { z₁(t), z₂(t),..., z_R(t)}

z₁(t) - время, оставшееся до конца обслуживания заявки;

z₂(t) - значение нового управления g_k;

z₃(t) - количество заявок в очереди;

z₄(t) - оставшееся время ожидания для первой заявки в очереди;

z₅(t) - оставшееся время ожидания для второй заявки в очереди;

.

.

.

z_R(t) - оставшееся время ожидания для (R -3) заявки в очереди

III. Определяем множество выходных состояний, существующих в этой системе.

1. z₁^(y) - состояние, когда одна заявка полностью обслужена в канале, а все остальные находятся в очереди в накопителе и имеют возможность ожидать дальше.

Это состояние происходит в момент времени t₁:

z₁(t₁) = 0

z₁(t₁) > 0 для i = 2,R

G’’ z(t₁) Î z₁^(y)

G

G’ y₁ = [a_k, g_s, t₁]

W t₁ + 0

z₁(t₁ + 0) = t^обсл

z₂(t₁ + 0) = z₂(t₁)

z₃(t₁ + 0) = z₃(t₁) - 1

z₄(t₁ + 0) = z₄(t₁)

.

.

.

z_R-1(t₁ + 0) = z_R-1(t₁)

z_R(t₁ + 0) - неопределено.

Дальше t > t₁. Должен работать оператор U_t1:

z₁(t) = z₁(t₁ + 0) - (t - t₁)

z₂(t) = z₂(t₁ + 0) = const

z₃(t) = z₃(t₁ + 0) = const

z₄(t) = z₄(t₁ + 0) - (t - t₁)

.

.

.

z_R-1(t) = z_R-1(t₁ + 0) - (t - t₁)

2. z₂^(y) - состояние, когда у какой-то заявки из очереди окончилось допустимое время ожидания и заявка уходит из очереди необслуженная.

Это состояние происходит в момент времени t₂.

z₁(t₂) > 0

z₂(t₂) > 0

z₃(t₂) > 0

.

.

.

z_m(t₂) > 0

Все остальные z₄(t₂),..., z_m-1 (t₂)

G’’ z(t₂)Î z₂^(y)

G

G’ y₂ = [a_k, g_s, t₂]

W t₂ + 0

z₁(t₂ + 0) = z₁(t₂)

z₂(t₂ + 0) = z₂(t₂)

z₃(t₂ + 0) = z₃(t₂) - 1

z₄(t₂ + 0) = z₄(t₂)

.

.

.

z_R-2(t₂ + 0) = z_R-2(t₂)

z_R-1(t₂ + 0) - неопределено.

U_t2:

z₁(t) = z₁(t₂ + 0) - (t - t₂)

z₂(t) = z₂(t₂ + 0) = const

z₃(t) = z₃(t₂ + 0) = const

z₄(t) = z₄(t₂ + 0) - (t - t₂)

.

.

.

z_R-2(t) = z_R-2(t₂ + 0) - (t - t₂)

3. z₃^(y) - состояние, когда заявка обслужена и уходит из системы и в очереди нет ни одной заявки.

Это состояние происходит в момент времени t₃:

G’’ z₁(t₃) = 0 Î z₃^(y)

z₃(t₃) = 0

G

G’ y₃ = [a_k, g_s, t₃]

W t₃ + 0

z₁(t₃ + 0) = 0

z₂(t₃ + 0) = z₂(t₃)

z₃(t₃ + 0) = 0

Все остальные z_i, i = 4, R-2 будут неопределены.

U_t3:

z₁(t) = 0

z₂(t) = z₂(t₃ + 0) = const

z₃(t) = 0

Все остальные z_i, i = 4, R-2 будут неопределены.