Псевдослучайные числа и процедура их генерации

При статистическом моделировании одним из основных вопросов является учет стохастических воздействий. Количество случайных чисел, которые используются в модели, зависит от класса объекта моделирования, вида оцениваемых характеристик, необходимой точности и достоверности результата моделирования. Кроме этого качество модели зависит от качества исходных или базовых последовательностей случайных чисел. На практике используются 3 основных метода формирования случайных чисел:

1) аппаратный (физический);

2) табличный;

3) алгоритмический.

1. Аппаратный метод:

В этом случае случайные числа выбираются специальной электронной приставкой, которая является внешним устройством ЭВМ. В качестве физических эффектов, лежащих в основе таких генераторов используются различные шумы в электронных приборах, распад радиактивных веществ и т. д.

Структурная схема аппаратного генератора случайных чисел:

U_ш

ИШ

t

U_ш

U_c U_c

КС

t

0 T

U_k

U_k

U_c

ФИ

t

U_ср

U_ср

ПС

t

0 T

X_i

ИШ - источник шума, КС - ключевая схема, ФИ - формирователь импульса, ПС - пересчетная схема.

Если провести масштабирование и взять интервал [0,T] за интервал [0,1], тогда Dt = t_i+1 - t_i будет давать случайное число в выбранном масштабе.

Достоинства метода:

а) самая качественная последовательность случайных чисел (СЧ);

б) формирование СЧ может идти параллельно с процессом моделирования.

Недостатки метода:

а) невозможно повторить реализацию с одинаковой последовательностью СЧ;

б) используется тогда, когда решаются задачи статистического моделирования.

2. Табличный (файловый) метод:

СЧ оформляются в виде таблиц и заносятся в память ЭВМ.

Недостатки метода:

а) объем выборки ограничен;

б) если таблица хранится в АЗУ, то в этом случае неэффективное использование оперативной памяти;

в) если таблица находится на внешних ЗУ, то тратится время на передачу данных в оперативную память.

3. Алгоритмический метод:

Основан на формировании СЧ в ЭВМ с помощью специальных алгоритмов и реализующих их программ. Каждое СЧ вычисляется в соответствии с заданным алгоритмом при возникновении необходимости в этом числе при моделировании.

Псевдослучайное число - число, полученное алгоритмическим методом.

Квазиравномерные числа - равномерное распределение непрерывное, поэтому при вычислении равномерных чисел на ЭВМ мы переходим к ограничению количества разрядов в числе, что связано с определенной разрядностью конкретной ЭВМ.

В основе всех датчиков должно лежать базовое распределение. Этим базовым распределением считают равномерное распределение. Его и необходимо использовать при моделировании.

Проверка качества квазиравномерных чисел:

Для того, чтобы оценить качество необходимо:

а) проверить на равномерность по критериям согласия;

б) проверить независимость с помощью коэффициента корреляции и корреляционного момента;

в) проверить на стохастичность или случайность методом серий;

г) определить длину периода.

8.4.Моделирование испытаний в схеме случайных событий

1) Моделирование случайных воздействий:

Простейшими случайными объектами при статистическом моделировании систем являются случайные события. Пусть СЧ X_i - это возможные значения случайной величины x, равномерно распределенной на интервале [0,1]. Необходимо реализовать случайное событие А, которое наступает с заданной вероятностью P. Определим А как событие, состоящее в том, что выбранное значение X_i случайной величины x удовлетворяет неравенству X_i £ P, тогда вероятность наступления события А определяется как P(A):

_P

P(A) = ò dx = P

⁰

А вероятность того, что событие А не наступит: P(`A) = 1 - P(A)

Пример:

Р_отказ. = 0,3; Р_норм. = 0,7

ДСЧ с норм. з-ном

распред-я

нет

X_i £ 0,3

да работа

отказ

2) Группа событий (метод розыгрыша по жребию):

Пусть А_1, ¼ А_s- полная группа событий, Р₁, ¼ Р_s - вероятность наступления этих событий.

Определим A_m как событие, состоящее в том, что выбранное значение X_i cлучайной величины x удовлетворяет неравенству l_m-1 £ X_i £ l_m,

r l_m

где l_r = å P_i. Тогда P(A_m) = ò dx = P_m

i=1 l_m-1

3) Моделирование испытаний, состоящих из двух независимых простых событий:

P(A), P(B) - вероятности наступления событий А и В соответственно.

P(AB) = P(A)P(B)

P(A`B) = P(A)P(`B) = P(A)[1 -P(B)]

P(`AB) = P(`A)P(B) = [1 - P(A)]P(B)

P(`A`B) = P(`A)P(`B) = [1- P(A)][1- P(B)]

4) Моделирование сложного события, состоящего из зависимых событий:

P(A), P(B)

P(B/A)

P(B/`A) -?

Применим формулу Байеса:

P(B) = P(A)P(B/A) + P(`A)P(B/`A) (8.3)

P(B/A) = [P(B) - P(A)P(B/A)] / P(`A)

Исход моделируется также, как и при независимых испытаниях (2 подхода).