Поворот осей на кут a

Якщо точка М має координати (х; у) у системі координат xOy, а нова система x¢O¢y¢ одержана поворотом старої системи на кут a (проти годинникової стрілки), то нові координати точки М (х¢; у¢) зв’язані із старими формулами

(4)

Паралельний перенос і поворот осей на кут a

Якщо точка М має координати (х; у) у системі координат xOy, а нова система координат x¢O¢y¢ одержана перенесенням початку старої системи в точку O¢ (a; b) і поворотом осей на кут a (проти годинникової стрілки), то нові координати точки М (х¢; у¢) зв’язані із старими формулами

(5)

2. ЛІНІЯ НА ПЛОЩИНІ. ОСНОВНІ ОЗНАЧЕННЯ

Говорять, що в системі координат хОу задане рівняння лінії l

F (x; y) = 0, (6)

якщо координати будь-якої точки М (x; y)Î l задовольняють рівняння (6), а координати будь-якої точки, не приналежної l, це рівняння не задовольняють.

Рис. 7

Приклад 1. F (x; y) = y – x =0 Þ y = x – пряма (рис. 8).

Приклад 2. F (x; y) = y ² – x ² = 0 Þ (y – x)(y + x) = 0 Þ y = ± x - пара прямих (рис. 8).

Рис. 8 Рис. 9

Приклад 3. F (x; y) = x ² + y ² – 1 = 0 - коло (рис. 9).

Рівняння (6) задає лінію в декартовій формі.

Говорять, що на площині лінія задана в параметричній формі, якщо координати x і y довільної точки М (x; y) лінії виражені через дійсну змінну t (параметр):

(7)

Щоб від рівняння (7) перейти до рівняння (6) потрібно виключити параметр t із рівнянь (7). Але такий перехід не завжди можливий і доцільний.

Приклад 4. . Якщо з першого рівняння виразити параметр t через x і підставити в друге рівняння, отримаємо рівняння прямої

Приклад 5. Зводячи у квадрат ліві і праві частини рівнянь і складаючи, одержуємо рівняння кола: x ² + y ² = R ².

Для побудови параметрично заданої лінії надають певного значення параметра t, за формулами (7) знаходять відповідні значення x i y, які відкладають на площині xOy.

Рис. 10. Циклоїда

На рис. 10 зображена циклоїда - лінія, яку описує точка кола радіуса r = a під час його кочення без ковзання уздовж осі Ox. Параметричні рівняння циклоїди:

(8)

де t - кут повороту колеса.

На рис. 11 зображена астроїда - лінія, яку описує точка кола радіуса r = a /4під час його кочення без ковзання по внутрішній стороні кола радіуса R = a. Рівняння астроїди:

(9)

Рівняння F (r; j) = 0 називається рівнянням лінії l у полярній системі координат, якщо координати будь-якої точки М (r; j)Î l задовольняють це рівняння, а координати будь-якої точки, не приналежної l, це рівняння не задовольняють.

Для побудови кривої у полярній системі координат надають певних значень j і знаходять відповідні значення r. Результати обчислень заносять у таблицю. Побудувавши відповідні точки, дістають графік кривої.

Рис. 11. Астроїда Рис. 12. Кардіоїда

На рис. 12 зображена кардіоїда - крива, що описується точкою кола з радіусом a /2, яке котиться без ковзання по колу з таким самим радіусом. Рівняння кардіоїди в полярній системі координат:

r = a (1+cos j). (10)

Якщо F (x; y) у рівнянні (6) є многочленом від x та y степеня n (n Î N), то говорять, що воно задає алгебраїчну лінію n-го порядку. Далі розглядатимемо лише алгебраїчні лінії першого та другого порядків, що задаються відповідно рівняннями

Ax + By + D = 0, (11)

Ax ² + 2 Bxy + Cy ² + Dx + Ey + K = 0. (12)

Далі буде показано, що алгебраїчна лінія першого порядку - це пряма, а алгебраїчна лінія другого порядку може бути еліпсом, гіперболою, параболою, парою паралельних чи пересічних прямих або точкою.

3. АЛГЕБРАЇЧНІ ЛІНІЇ ПЕРШОГО ПОРЯДКУ.
ПРЯМА НА ПЛОЩИНІ

Пряма на площині фіксується, якщо відомі:

1) точка на прямій і вектор, перпендикулярний до прямої;

2) точка на прямій і вектор, паралельний прямій;

3) точка на прямій і кутовий коефіцієнт прямої;

4) дві точки на прямій.

3.1. Рівняння прямої, що проходить через задану точку перпендикулярно до заданого вектора.
Загальне рівняння прямої

Нехай пряма проходить через задану точку М ₀(х ₀; у ₀) перпендикулярно до заданого вектора нормалі (рис. 13). Виберемо на прямій змінну точку М (х, у) і запишемо умову перпендикулярності векторів і :

. (13)

Рис. 13 Рис. 14

Скалярний добуток (13) у координатній формі має вигляд

А (х - х ₀) + B (y - у ₀) = 0. (14)

Рівняння (14) називається рівнянням прямої, що проходить через задану точку М ₀(х ₀; у ₀) перпендикулярно до заданого вектора .

Окремі випадки рівняння (14):

1) при x ₀ = y ₀ = 0 маємо рівняння прямої, яка проходить через початок координат:

Ах + Ву = 0; (15)

2) при B = 0, A ¹ 0 одержуємо рівняння вертикальної прямої: х = х ₀;

3) при A = 0, B ¹ 0 одержуємо рівняння горизонтальної прямої: y = y ₀.

З рівняння (14) одержимо загальне рівняння прямої

Ах + Ву + D = 0. (16)

З (16) і (11) випливає, що всяка пряма є алгебраїчною лінією першого порядку.

3.2. Рівняння прямої, що проходить через задану точку паралельно заданому вектору

Нехай пряма проходить через задану точку М ₀(х _0; у ₀) паралельно заданому вектору . Виберемо на прямій змінну точку М (х; у). Запишемо умову паралельності векторів і (рис. 14):

. (17)

Рівняння (17) називається рівнянням прямої, що проходить через задану точку М ₀(х ₀; у ₀) паралельно заданому вектору .

3.3. Рівняння прямої, що проходить через дві задані точки

Нехай на прямій задані дві фіксовані точки М ₁(х ₁; у ₁), M ₂(х ₂; у ₂). Виберемо на прямій змінну точку М (х; у) і запишемо умову колінеарності векторів = (x - x _1; y - y ₁) і = (x ₂ - x _1; y ₂ - y ₁) (рис. 15):

(18)

- рівняння прямої, що проходить через дві задані точки М ₁(х _1; у ₁), M ₂(х ₂; у ₂).

Рис. 15 Рис. 16

3.4. Рівняння прямої у відрізках на осях

Нехай пряма відтинає на координатних осях Ox, Oy відрізки a, b, що не дорівнюють нулю (рис. 16). Підставляючи в рівняння (18) координати точок перетину прямої з осями М ₁(a; 0), M ₂(0; b), одержуємо рівняння прямої у відрізках на осях:

. (19)

3.5. Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом

Нехай пряма проходить через задану точку М ₀(х ₀; у ₀) і складає з віссю Ох кут a ¹ p /2 (рис. 17). Виберемо на прямій змінну точку М (х; у) і запишемо співвідношення:

. (20)

Число k називається кутовим коефіцієнтом прямої.

Рис. 17

З формули (20) одержуємо рівняння прямої, що проходить через задану точку М ₀(х _0; у ₀) і має заданий кутовий коефіцієнт k:

(21)

З рівняння (21) при x ₀ = 0 одержимо рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом:

(22)

де b = y ₀ – відрізок, що відтинається прямою на осі Оу (рис. 17).

Зауваження. Загальне рівняння прямої (16), а також рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом (22) є “стандартними” формами запису рівнянь прямої, в яких вона задається або до яких зводяться інші рівняння прямої у процесі розв’язання задач.

3.6. Кут між двома прямими

1) прямі задані загальними рівняннями

(23)

Косинус гострого кута a між прямими:

(24)

2) прямі задані рівняннями з кутовим коефіцієнтом

(25)

Тангенс кута a між прямими (рис. 18):

(26)

Рис. 18

3.7. Умови паралельності й перпендикулярності
двох прямих

Умови паралельності прямих, заданих рівняннями (23), (25):

. (27)

Умови перпендикулярності двох прямих:

. (28)

3.8. Нормальне рівняння прямої

Нехай p – відстань від початку координат до прямої. Уведемо одиничний вектор нормалі = (cos α; sin a) і змінну точку прямої М (x; y). Тоді проекція вектора на напрям вектора нормалі дорівнює відстані р (рис. 19):

Рис. 19

З останньої рівності одержуємо нормальне рівняння прямої:

(29)

Ознаки нормального рівняння:

1) вільний член від’ємний або дорівнює нулю;

2) коефіцієнти при x, y по абсолютній величині не перевищують 1;

3) сума квадратів коефіцієнтів при x, y дорівнює 1.

Зведення загального рівняння прямої до нормального вигляду

Зведемо до нормального вигляду загальне рівняння прямої

Ах + Ву + D = 0. (30)

Для цього помножимо його на нормуючий множник μ ≠ 0, який підберемо з умов:

(31)

Знак μ вибираємо протилежним знаку вільного члена D:

(32)

Нормальне рівняння:

. (33)

3.9. Відстань від точки до прямої

Знайдемо відстань від точки K (x ₁; y ₁) до прямої (рис. 20). Для цього обчислимо різницю:

(34)

Рис. 20

Відхилення точки від прямої:

(35)

Якщо точка й початок координат знаходяться з одного боку від прямої, то d < 0, а якщо з різних – то d > 0.

Відстань від точки K (x ₁; y ₁) до прямої:

- пряма задана нормальним рівнянням (29)

(36)

- пряма задана загальним рівнянням (16)

. (37)

Приклад 6. Знайти відхилення і відстань від точки М ₀(1; 2) до прямої

2 x -3 y -5 = 0.

Розв’язання. Зведемо рівняння прямої до нормального вигляду. Для цього поділимо рівняння на :Þ

Þ

Відхилення точки М ₀(1; 2) від прямої:

Оскільки d < 0 - точка М ₀(1; 2) і початок координат знаходяться з одного боку від прямої.

Відстань від точки М ₀(1; 2) до прямої:

Приклад 7. Скласти рівняння прямої, що проходить через точки M ₁(2; 3) і M ₂(-3; 5).

Розв’язання. Скористаємося формулою (18):

, , 2(x - 2) = - 5(y - 3);

2 x + 5 y - 19 = 0 - загальне рівняння прямої. Вектор нормалі =
= (2; 5);

- рівняння прямої у відрізках на осях (a = 19/2; b =
= 19/5);

- рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом (k = - 2/5; b = 19/5).

Приклад 8. Скласти рівняння прямої, що проходить через точку перпендикулярно до прямої x + 2 y + 3 = 0.

Розв’язання. 1-й спосіб. Дану пряму представимо у вигляді: (). Рівняння шуканої прямої є: . З умови перпендикулярності прямих маємо k ₁ k ₂ = - 1 Þ k ₂ = 2. Звідси y + 3 = 2(x - 2) Þ 2 x - y - 7 = 0.

2-й спосіб. Вектор нормалі до даної прямої паралельний шуканій прямій. Рівняння прямої, що проходить через точку паралельно вектору має вигляд:

Приклад 9. Дані вершини трикутника A (1; 0), B (5; 4), C (-1; 3). Скласти рівняння сторін трикутника, медіани й висоти, проведених із вершини A.

Розв’язання.

а) рівняння сторін знайдемо як рівняння прямих, що проходять через дві точки:

AB: , x - 1 = y, x - y - 1 = 0;

BC: , x - 5 = 6(y - 4), x - 6 y +19 = 0;

CA: , -3(x + 1) = 2(y - 3), 3 x + 2 y - 3 = 0;

б) медіану, опущену з вершини A на сторону BC, позначимо AM. Точка M поділяє сторону BC навпіл, тому її координати

, .

Рівняння медіани AM: ; 7 x - 2 y - 7 = 0;

в) висоту, опущену з вершини A на сторону BC, позначимо AK. Пряма AK проходить через точку A (1; 0) перпендикулярно прямій BC, тобто паралельно вектору . Отже, її рівняння:

Зробимо креслення.

Рис. 21

Приклад 10. Протилежні вершини квадрата лежать у точках A (-2; 3) і C (2; 5). Скласти рівняння сторін і діагоналей квадрата.

Розв’язання.

а) складемо рівняння діагоналей. Одна з діагоналей проходить через точки A і C.

AC: x - 2 y + 8 = 0.

Діагональ BD квадрата перпендикулярна до діагоналі AC і проходить через її середину - точку K із координатами

,

Кутовий коефіцієнт AC: k_AC = 1/2, отже, кутовий коефіцієнт BD: k_BD = k_AC = - 2. Рівняння діагоналі BD:

y - y_K = k_BD (x - x_K), y - 4 = - 2 x, 2 x + y - 4 = 0.

Зробимо креслення;

Рис. 22

б) знаходимо рівняння сторін. Нехай k_AB - кутовий коефіцієнт сторони AB. Кут DAC позначимо j, він дорівнює 45°. Оскільки tgj = tg 45° = 1, k_AC = 1/2, то

Þ Þ k_AD = 3.

Рівняння сторони AD:

, y - 3 = 3(x + 2), y = 3 x + 9.

Сторона BC проходить через точку C паралельно AD (k_BC = k_AD =3), її рівняння

, y - 5 = 3(x - 2), y = 3 x - 1.

З умови перпендикулярності сторін AB і BC знаходимо k_AB =
= -1/ k_BC = -1/3. Сторони DC і AB паралельні, їхні кутові коефіцієнти співпадають: k_DC = k_AB = -1/3. Знаходимо рівняння сторін AB і DC:

AB: , x + 3 y - 7 = 0;

DC: , x + 3 y - 17 = 0.

Питання для самоперевірки

1. Записати наступні рівняння прямих і пояснити зміст усіх величин у цих рівняннях:

- векторне й канонічне рівняння прямої;

- загальне рівняння прямої;

- рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом;

- рівняння прямої, що проходить через дві дані точки;

- рівняння прямої у відрізках;

- нормальне рівняння прямої.

2. Як знайти кут між двома прямими?

3. Сформулювати умови паралельності й перпендикулярності двох прямих.

4. Як обчислити відстань від точки до прямої?

Задачі для розв’язування

1. Знайти рівняння прямої, що проходить через точку перетину прямих х + 2 у + 3 = 0, 2 х + 3 y + 4 = 0 паралельно прямій 5 х + 8 у = 0.

2. Дано сторони трикутника АВС: х – у = 0 (АВ), х + у – 2 = 0 (ВС), у = 0 (АС). Знайти рівняння висоти, що проходить через вершину А.

3. Дано вершини трикутника АВС: А (1; 2), В (2; –2), С (6; 1). Потрібно:

1) написати рівняння сторони АВ;

2) написати рівняння висоти СD й обчислити її довжину.

4. Дано сторону прямокутника 3 x – 4 y + 5 = 0 та дві його вершини A (1; –3), С (1; 2). Знайти рівняння решти сторін прямокутника.

5. Знайти точку В, симетричну точці A (–2; 4) відносно прямої:
3 х + у – 8 = 0.

6. Дано вершини трикутника АВС: A (–8; 3), B (8; 5), С (8; –5). Знайти точку перетину його висот.

7. Знайти рівняння прямої:

1) кутовий коефіцієнт якої 1/2 і відрізок, що відтинається на осі ординат, дорівнює 3;

2) що проходить через точку (1; 3) та кутовий коефіцієнт якої дорівнює –2;

3) що проходить через точку (–1; 2) і утворює з віссю Ох кут p/3;

8. Знайти рівняння прямої:

1) яка відтинає на осях Ох й Оу відрізки, що відповідно становлять 3 і –4;

2) яка проходить через точку (3; 1) і відтинає на осях Ох та Оу відрізки однакової довжини.

9. Знайти рівняння прямої, що проходить через точку (2; 2) та відтинає від координатного кута трикутник, площа якого дорівнює 1 од².

10. Знайти відстань d між паралельними прямими:

1) х – 2 у + 4 = 0, 2 х – 4 у + 5 = 0;

2) 2 x – 3 y – 1 = 0, – 6 х + 9 y – 5 = 0.

11. Через точку (–2; 2) провести прямі, відстань до кожної з яких від точки (2; 5) дорівнює 3.

12. Точки A (1; 2), В (–1; –1), С (2; 1) – вершини трикутника. Знайти рівняння бісектриси внутрішнього кута трикутника при вершині В.

13. Дані вершини трикутника A (1; –1), В (–2; 1), С (3; 5). Знайти рівняння перпендикуляра, опущеного з вершини А на медіану, що проведена з вершини В.

14. Дано рівняння двох сторін трикутника: 4 x + 3 y - 5 = 0, x - 3 y +10 = 0. Його медіани перетинаються в точці (2; 2). Знайти рівняння третьої сторони трикутника.

4. АЛГЕБРАЇЧНІ ЛІНІЇ ДРУГОГО ПОРЯДКУ
НА ПЛОЩИНІ

4.1. Основні поняття

Нехай дане загальне рівняння лінії другого порядку:

Ax ² + 2 Bxy + Cy ² + Dx + Ey + K = 0, (38)

де коефіцієнти A, B, C одночасно не дорівнюють нулю.

Тип лінії, обумовленої цим рівнянням, можна визначити за знаком дискримінанта D = B ² - AC:

- якщо дискримінант D < 0, то рівняння має еліптичний тип і визначає або еліпс, або точку (х ² + у ² = 0), або уявну криву (наприклад, х ² + у ² + 1 = 0);

- якщо дискримінант D > 0, то рівняння має гіперболічний тип і визначає або гіперболу, або пару пересічних прямих (а ² х ² - b ² у ² = 0);

- якщо дискримінант D = 0, то рівняння має параболічний тип і визначає або параболу, або пару паралельних прямих (наприклад, х ² - - а ² = 0), або уявну криву (наприклад, х ² + а ² = 0).

Якщо рівняння (38) визначає на площині порожню множину, точку, пряму, пару прямих, то відповідна лінія другого порядку називається виродженою.

4.2. Деякі задачі, що приводять до кривих другого порядку

Задача. Знайти геометричне місце точок на площині xOy, які задовольняють наступній властивості: відношення відстаней від довільної точки М цієї множини до точки F (2; 1)івід точки М до прямої х = 4 є величина стала, що дорівнює ε. Розглянути випадки: 1) ε = 1/2; 2) ε = 1; 3) ε = 2.

Рис. 23

Розв’язання. Покажемо, що при будь-якому значенні ε шукане геометричне місце точок є кривою другого порядку, тип якої істотно залежить від величини ε (ε < 1 - еліпс, ε = 1 - парабола, ε > 1 - гіпербола).

, ,

Þ FM ² = e ² MK ²,

,

,

. (39)

Випадок 1: ε = 1/2. ,

,

, .

Зробимо заміну змінних x¢ = x - 4/3, y¢ = y - 1 і введемо нову систему координат x ¢ O ¢ y ¢ із центром O ¢(4/3; 1), що виходить із xOy паралельним переносом. У системі координат x ¢ O ¢ y ¢ рівняння кривої набуде вигляду

. (40)

Зауваження. Рівняння (40) являє собою на площині криву другого порядку, називану еліпсом. Для будь-якого еліпса на площині завжди можна ввести таку систему координат O ¢ x ¢ y ¢, у якій його рівняння матиме вигляд:

. (41)

Випадок 2: ε = 1. З рівняння (39) одержуємо:

, , .

Зробимо заміну змінних x¢ = x - 3, y¢ = y - 1. У системі координат x ¢ O ¢ y ¢ маємо:

. (42)

Зауваження. Рівняння (42) являє собою на площині x ¢ O ¢ y ¢ криву другого порядку, називану параболою. Для будь-якої параболи на площині завжди можна ввести таку систему координат x ¢ O ¢ y ¢, у якій її рівняння матиме вигляд:

. (43)

Випадок 3: e = 2. З рівняння (39) одержуємо:

, ,

,

Зробимо заміну змінних x¢ = x - 14/3, y¢ = y - 1. У системі координат x ¢ O ¢ y ¢ рівняння кривої набуде вигляду:

(44)

Зауваження. Рівняння (44) являє собою на площині криву другого порядку, називану гіперболою. Для будь-якої гіперболи на площині завжди можна ввести таку систему координат x ¢ O ¢ y ¢, у якій її рівняння матиме вигляд:

. (45)

4.3. Криві другого порядку. Узагальнення

Кривою другого порядку називається геометричне місце точок на площині, що задовольняє наступній властивості: відношення відстаней від довільної точки М кривої до фіксованої точки F площини (фокус кривої) і від точки М до фіксованої прямої на площині (директриса кривої) є величиною сталою, яка дорівнює ε (ексцентриситет кривої).

Тип кривої другого порядку залежить від величини ε. Крива другого порядку є:

1) еліпс, якщо ε < 1;

2) парабола, якщо ε = 1;

3) гіпербола, якщо ε > 1.

Рис. 24

Кривою другого порядку є алгебраїчна лінія другого порядку, що визначається рівнянням (38). При переході від однієї системи координат до іншої рівняння кривої змінюватиметься. Найбільш просте рівняння крива другого порядку матиме в канонічній системі координат, одна з осей якої спрямована уздовж перпендикуляра, опущеного з фокуса F на директрису, а інша – паралельно директрисі. Рівняння кривої другого порядку в канонічній системі координат називається канонічним рівнянням кривої. Будь-яке рівняння (38) можна звести до канонічного вигляду за допомогою паралельного переносу й повороту системи координат на кут a, що визначається з рівняння .

Далі розглядатимемо криві другого порядку в канонічних системах координат.

4.4. Еліпс

Рівняння еліпса в параметричній формі:

0 £ t £ 2 p. (46)

З рівняння (46) маємо: x / a = cos t, y / b = sin t. Піднесемо до квадрата і складемо:

(47)

- канонічне рівняння еліпса.

При y = 0 маємо х= ± а; при х = 0 Þ у = ± b, тобто еліпс відсікає на осі Ох відрізки ± а, на осі Оу - відрізки± b (рис. 25). Точки перетину еліпса з осями координат називаються вершинами еліпса.

Рис. 25. Еліпс (a ³ b) Рис. 26. Еліпс (a £ b)

Точки F ₂(- c; 0), F ₁(c; 0), де (a ³ b) називаються фокусами еліпса.

Величина ε = c/a називається ексцентриситетом еліпса (0 £ e <1). Від ексцентриситету залежить форма еліпса. Якщо ε = 0, то еліпс перетворюється в коло. При ε →1 еліпс вироджується у відрізок [- a; a ].

Прямі x = ± a / e називаються директрисами еліпса.

Якщо r – відстань від точки М до фокуса, d – відстань від точки М до найближчої директриси, то r / d = e.

Відстані r ₁ = F ₁ M і r ₂ = F ₂ M від довільної точки М (x; y)еліпса до фокусів називаються фокальними радіусами еліпса.

Знайдемо фокальні радіуси:

Аналогічно .

Таким чином

, (48)

З формул (48) випливає основна властивість еліпса: сума відстаней від будь-якої точки еліпса до фокусів дорівнює 2 а.

F ₁ M + F ₂ M = 2 а. (49)

Зауваження 1. Якщо a < b, то фокуси еліпса мають координати F ₂(0; - c), F ₁(0; c), де . Ексцентриситет еліпса e = с / b, директриси еліпса y = ± b / e (рис. 26).

Зауваження 2. Відомо, що фокальні радіуси F ₁ M і F ₂ M перетинають дотичну до еліпса в точці М під однаковими кутами. Отже, промінь світла, або звукова хвиля, що виходить із фокуса F ₁, відбившись від еліпса, потрапить у фокус F ₂ (оптична властивість еліпса).

Зауваження 3. Якщо a = b = R, то еліпс вироджується в коло радіуса R; фокуси F ₁і F ₂ збігаються з центром O кола, ексцентриситет кола e = 0 (рис. 27). Коло директрис не має.

Коло – геометричне місце точок на площині, рівновіддалених від даної фіксованої точки, яка називається центром кола.

Рис. 27. Коло

Приклад 11. Звести до канонічного вигляду рівняння

9 x ² + 25 y ² - 36 x + 50 y = 164. Визначити тип кривої, зробити креслення.

Розв’язання. Виділимо в рівнянні лінії повні квадрати:

, , , , де

В системі координат x ¢ O ¢ y ¢ отримане канонічне рівняння еліпса. Центр еліпса має координати O ¢(2; -1). Півосі еліпса a = 5, b = 3. e = c / a = 4/5.

Рис. 28

4.5. Гіпербола

Канонічне рівняння гіперболи в декартових координатах:

, (50)

де а – дійсна,

b – уявна півосі гіперболи.

При y = 0: х = ± а. Точки перетинання з віссю Ox (- a; 0) і (a; 0) називаються вершинами гіперболи. При х = 0: у ² = - b ² (гіпербола не перетинає вісь Оу). Гіпербола має дві гілки, симетричні щодо осі Oу.

Прямі , що проходять через діагоналі прямокутника 2 а ´2 b, називаються асимптотами гіперболи. Властивість асимптот: при необмеженому видаленні від початку координат гілки гіперболи наближаються до асимптот, не перетинаючи їх.

Рис. 29. Гіпербола

Точки F ₁(- c; 0), F ₂(c; 0), де називаються фокусами гіперболи, а відрізки F ₁ M, F ₂ M - її фокальними радіусами.

Величина ε = с/a називається ексцентриситетом гіперболи (e > 1).

Прямі називаються директрисами гіперболи.

Основна властивість гіперболи: різниця відстаней від довільної точки М гіперболи до її фокусів є величина стала, що дорівнює ± 2 а.

Зауваження 1. Рівняння гіперболи в параметричній формі має вигляд:

(51)

Верхня половина правої гілки гіперболи відповідає значенням параметра 0 £ t £ ¥, нижня – значенням -¥ < t < 0.

Зауваження 2. Оптична властивість гіперболи: промінь світла, що виходить із джерела світла, розміщеного в одному з фокусів гіперболи, після відбитка від гілки гіперболи рухається так, начебто він виходить з іншого фокуса.

Зауваження 3. Якщо а = b, то гіпербола називається рівнобічною. Її рівняння в канонічному вигляді

x ² - y ² = a ². (52)

Рис. 30. Рівнобічна гіпербола

Асимптоти y = ± x є бісектрисами координатних кутів.

Повернемо систему координат xOy на кут a = - p /4 (рис. 30) і запишемо рівняння гіперболи в системі координат х ¢ Оу ¢. Використовуючи формули перетворення координат при повороті осей (4), отримаємо:

(53)

Підставимо (53) у рівняння гіперболи (52):

(х ¢ + у ¢)² - (y ¢ - x ¢)² = 2 a ², 4 х ¢ у ¢ = 2 a ¢, х ¢ у ¢ = k, у ¢ = k / x ¢, k = a ²/2.

У системі координат х ¢ Оу ¢ рівнобічна гіпербола описується рівнянням

у ¢ = (54)

Приклад 12. Звести до канонічного вигляду рівняння гіперболи

9 x ² - 16 y ² + 64 y - 54 x – 127 = 0.

Розв’язання. Виділимо в рівнянні гіперболи повні квадрати. Маємо

9(x ² - 6 x + 9) - 81 - 16(y ² - 4 y + 4) + 64 - 127 = 0,
9(x - 3)² - 16(y - 2)² = 144,

де

Канонічне рівняння гіперболи отримане. Центр гіперболи - точка О’ (3, 2). Півосі гіперболи a = 4, b = 3. Канонічна система координат О ¢ х ¢ у ¢ (креслення зробіть самостійно).

Парабола

Канонічне рівняння параболи в декартовій формі:

. (55)

Точка F (p /2; 0) - фокус параболи, x = - p /2 - рівняння директриси

Рис. 31. Парабола

Основна властивість параболи: відстань від будь-якої точки параболи до фокуса дорівнює відстані від цієї точки до директриси. Доведемо цю властивість.

Зауваження 1. Оптична властивість параболи: усі промені, що виходять із фокуса параболи, після відбитка від параболи направлені паралельно її осі. Ця властивість параболи використовується в прожекторах, ліхтарях, локаторах.

Зауваження 2. Рівняння y ² = - 2 px, x ² = 2 py, x ² = -2 py (p > 0) також визначають параболи (рис. 32).

Рис. 32. Параболи (p > 0)

Приклад 13. Звести до канонічного вигляду рівняння параболи

x ² - 4 x - 8 y + 12 = 0.

Розв’язання. Запишемо рівняння параболи у вигляді:

(x ² - 4 x + 4) - 8(y -1) = 0; (x - 2)² = 8(y - 1), х ¢ ² = 8 у ¢,

де

Вершина параболи - точка О ¢(2, 1). Канонічна система координат х ¢ О ¢ у ¢. Параметр р = 4 (креслення зробіть самостійно).

4.7. Рівняння еліпса, гіперболи, параболи
в полярній системі координат

Якщо полюс О ¢полярної системи координат збігається з фокусом F параболи (еліпса, гіперболи), полярна вісь перпендикулярна до директриси D (директрис) і напрямлена так, що не перетинає директрису D (однобічну директрису D), то рівняння параболи (еліпса, гілки гіперболи, відповідної фокусу F)має вигляд

(56)

де р – відстань від фокуса до директриси (відповідної директриси);

e – ексцентриситет відповідної лінії другого порядку.

Якщо полюс полярної системи збігається з центром еліпса (гіперболи), а полярна вісь перпендикулярна до директрис, то рівняння еліпса (гіперболи) матиме вигляд

(57)

4.8. Конічні перерізи

Еліпс, гіперболу, параболу можна одержати як лінії перетину прямого кругового конуса з площиною (рис. 33). Тому їх часто називають конічними перерізами.

Рис. 33. Конічні перерізи

Питання для самоперевірки

1. Яка лінія називається кривою другого порядку? Скільки типів кривих другого порядку існує? Як визначається тип кривої за ексцентриситетом?

2. Намалювати два еліпси, задані рівняннями 16 x ² + 9 y ² = 144 і 9 x ² + 16 y ² = 144. Знайти їхні фокуси, ексцентриситети й директриси.

3. Намалювати дві гіперболи, задані рівняннями 16 x ² - 9 y ² = 144 і -16 x ² + 9 y ² = 144. Знайти їхні фокуси, ексцентриситети, директриси й асимптоти.

4. Намалювати параболи y ² = 2 x, y ² = –2 x, x ² = 2 y, x ² = –2 y. Знайти їхні фокуси й директриси.

5. Яка система координат називається канонічною?

6. Довести твердження: еліпс є геометричне місце точок на площині, сума відстаней яких до двох фіксованих точок площини є величиною сталою.

7. Довести твердження: гіпербола є геометричним місцем точок на площині, модуль різниці відстаней яких до двох фіксованих точок площини є величиною сталою.

Задачі для розв’язування

1. Знайти геометричне місце точок, для яких сума відстаней до двох даних точок F ₁(–3; 0) та F ₂(3; 0) є величиною сталою, яка дорівнює 10.

2. Знайти геометричне місце точок, для яких відношення відстаней до даної точки F (–4; 0) і даної прямої 4 х + 25 = 0 дорівнює 4/5.

3. Знайти геометричне місце точок, які розміщені від точки A (3; 0) удвічі ближче, ніж від прямої х = 12.

4. Скласти рівняння кривої, сума квадратів відстаней від кожної точки якої до точок М ₁(–3; 0) та M ₂(3; 0) дорівнює 50.

5. Скласти рівняння еліпса, фокуси якого розташовані на осі абсцис симетрично відносно початку координат, знаючи, що:

1) його півосі дорівнюють 5 та 2;

2) його велика вісь дорівнює 10, а відстань між фокусами 2 с = 8;

3) його мала вісь дорівнює 24, а відстань між фокусами 2 с = 10;

4) відстань між фокусами 2 с = 6та ексцентриситет e = 3/5;

5) його велика вісь дорівнює 20, а ексцентриситет e = 3/5.

6. Знайти геометричне місце точок, для яких модуль різниці відстаней від двох даних точок F ₁(– 5;0) і F ₂(5; 0) є величиною сталою, яка дорівнює 6.

7. Вивести рівняння геометричного місця точок, для яких відношення відстаней до даної точки F (–5; 0) і даної прямої 5 х + 16 = 0 дорівнює 5/4.

8. Вивести рівняння геометричного місця точок, для яких відстань від точки F (0;6) у півтора рази більша за відстань від прямої у = 8/3.

9. Знайти геометричне місце точок, рівновіддалених від точки М (2;0) та від кола х ² + 4 х + у ² = 0.

10. Скласти рівняння гіперболи, фокуси якої розташовані на осі абсцис, симетрично відносно початку координат, якщо:

1) відстань між фокусами 2 с = 6, ексцентриситет e = 3/2;

2) рівняння асимптот y = ± 4 x /3 та відстань між фокусами 2 с = 20;

3) відстань між директрисами дорівнює та відстань між фокусами 2 с = 26;

4) ексцентриситет e = 3/2 та відстань між директрисами дорівнює 8/3.

11. Дано гіперболу Знайти:

1) координати фокусів;

2) ексцентриситет;

3) написати рівняння асимптот і директрис;

4) скласти рівняння спряженої гіперболи та обчислити її ексцентриситет.

12. Дано гіперболу 16 x ² – 9 у ² = 144. Знайти півосі а та b, фокуси, ексцентриситет, рівняння асимптот та директрис.

13. Знайти геометричне місце точок, для яких відстань до даної точки F (3; 0) дорівнює відстані до даної прямої х + 3 = 0.

14. Скласти рівняння геометричного місця точок, відстані яких до даного кола (х – 5)² + у ² = 9 і даної прямої х + 2 = 0 рівні між собою.

15. Знайти геометричне місце центрів кіл, які дотикаються до осі Ох і проходять через точку (3; 4).

16. Знайти геометричне місце точок, для кожної з яких відстані від осі Ох та від точки F (2; 2) рівні.

17. Визначити параметр p та розташування відносно координатних осей таких парабол: 1) у ² = 6 х;2) х ² = 5 y; 3) у ² = – 4 х; 4) х ²= – у.

18. Скласти рівняння параболи, вершина якої міститься у початку координат, знаючи, що:

1) парабола розташована симетрично відносно осі Ох і проходить через точку A(9; 6);

2) парабола розташована симетрично відносно осі Оу і проходить через точку С(1; 1).

ЗАВДАННЯ ДЛЯ САМОСТІЙНОЇ РОБОТИ

І. Розв’язати задачу і зробити креслення:

1. У трикутнику з вершинами А (–3; –1), В (1; –5), С (9; 3) сторони АВ і АС розділені у відношенні 3:1. Довести, що прямі, які з’єднують точку ділення з протилежними вершинами, і медіана АМ перетинаються в одній точці.

2. Дані рівняння сторони x + 3 y – 8 = 0 і діагоналі 2 x + y + 4 = 0 ромба. Записати рівняння інших сторін і діагоналі ромба, знаючи, що точка А (–9; –1) лежить на стороні, паралельній даній.

3. Дано дві точки А (–3; 8) і В (2; 2). На осі Ох знайти координати такої точки С, щоб периметр трикутника АВС був найменшим.

4. Дано вершини А (–3; –2), В (4; –1), С (1; 3) трапеції АВСD (AD║CB). Діагоналі трапеції перпендикулярні. Знайти координати точки D.

5. Дано рівняння двох сторін 2 х – 5 у – 1 = 0, 2 х – 5 у – 7 = 0 і рівняння діагоналі х + 3 у – 6 = 0 ромба. Знайти рівняння інших сторін і діагоналі ромба.

6. Дано рівняння двох медіан трикутника х – 2 у+ 1 = 0, у – 1 = 0 і одну з його вершин А (1, 3). Скласти рівняння сторін трикутника.

7. Дано вершини А (2; –2), В (3; –1) і точку Р (1; 0) перетину медіан трикутника АВС. Скласти рівняння його висоти, проведеної через вершину С.

8. Дано точки А (3; 5) і В (–1; 4). На осі Ох знайти координати такої точки С, щоб периметр трикутника АВС був найменшим.

9. У трикутнику АВС дано координати точки А (2; 6) та рівняння висоти х + 7 у + 15 = 0 і бісектриси 6 х – 42 у – 85 = 0, проведених з однієї вершини. Скласти рівняння сторін трикутника.

10. У трикутнику дано вершину А (2; –7), рівняння висоти 3 х + у + 11 = 0 і медіани х + 2 у + 7 = 0, проведених із різних вершин. Скласти рівняння сторін.

11. Дано рівняння двох сторін трикутника 5 х – 4 у + 15 = 0, 4 х + у – 9 = 0 і точку Р (0; 2) перетину медіан. Знайти рівняння третьої сторони трикутника.

12. Дано рівняння висот 2 х – 3 у+ 1 = 0, х + 2 у + 1 = 0 і вершину А (2; 3) трикутника. Знайти рівняння сторін трикутника.

13. Дано рівняння сторони 4 х + у – 12 = 0 і висот 5 х – 4 у – 12 = 0,
х + у – 6 = 0 трикутника. Знайти рівняння інших сторін і висоти.

14. Знайти рівняння прямої, що проходить через точку М (-6; 8) та відтинає від координатного кута трикутник, площа якого дорівнює 12 од².

15. Дано рівняння двох сторін паралелограма х + 2 у + 2 = 0, х +у – 4 = 0 і рівняння однієї діагоналі х – 2 = 0. Знайти координати вершин паралелограма.

16. Дано рівняння двох сторін 2 х + 3 у – 6 = 0(АВ), х + 2 у – 5 = 0 (АС) трикутника АВС і кут при вершині В, що дорівнює 45 градусів. Знайти рівняння висоти, опущеної з вершини А.

17. Дано дві вершини трикутника А (–3; 3), В (5; –1) і точку перетину його висот Р (4; 3). Знайти рівняння сторін трикутника.

18. Скласти рівняння бісектрис кутів між прямими 7 х – у = 19 і 2 х + у = 5.

19. Скласти рівняння бісектриси кута А трикутника АВС з вершинами: А (1; 1), В (10; 13), С (13; 6).

20. Скласти рівняння прямих, що проходять через точку А (5; 1) і утворюють із прямою 2 х+у = 4 кут 45 градусів.

21. При якому значенні параметра Р прямі х + 7 у – 8 = 0, 7 х – 2 у – 5 = 0, Рх + Ру – 8 = 0 перетинаються в одній точці?

22. Точки А (1; 2) і С (3; 6) – протилежні вершини квадрата. Скласти рівняння його сторін.

23. Показати, що трикутник із сторонами, заданими рівняннями
x + 3 y+ +1 = 0,3 х + у + 1 = 0 і х – у = 10, рівнобедрений. Знайти кут при його вершині.

24. Дано вершини паралелограма: А (0; 0), В (1; –3), С (7; –1). Знайти кут між його діагоналями і показати, що паралелограм є прямокутником.

25. Довести, що трикутник із вершинами: А (1; 1), В (2; ), С (3; 1) є рівностороннім і знайти його площу.

26. Дві вершини квадрата створені перетином прямої 4 х+ 3 у = 12 з осями координат. Знайти координати двох інших його вершин.

27. Скласти рівняння тих прямих, що проходять через точку М (2; 7) і створюють кут 45 градусів із прямою АВ, де А (–1; 7), В (8; –2).

28. На осі абсцис знайти точку, відстань від якої до прямої
8 х + 15 у + 10 = 0дорівнює 1.

29. Дано середини сторін трикутника М (–1; –1), N (1; 9) і Р (9; 1). Скласти рівняння серединних перпендикулярів до сторін трикутника.

30. Дано рівняння двох висот трикутника у = 2 х, у+ 3 х+ 5 = 0 і одну з його вершин А (8; 1). Скласти рівняння сторін трикутника.

31. У трикутнику АВС дано вершини А (10; 1), В (2; 9) і середину сторони АС - точку D (4; –1). Знайти точку перетину медіан трикутника.

32. Дано рівняння двох сторін паралелограма 3 х – у – 4 = 0, х – 5 у+ 8 = 0 і точку М (6, 0) перетину його діагоналей. Знайти координати вершин паралелограма.

33. У трикутнику АВС дано рівняння висоти АН: 3 х – у+ 12 = 0 і медіани АМ: 4 х - 3 у+ 16 = 0 та середину сторони АВ - точку D (2; 3). Скласти рівняння сторін трик