Эвольвента окружности и её свойства

Эвольвентой называется кривая, очерчиваемая точкой прямой, при перекатывании этой прямой по окружности без проскальзывания (рис. 7.3). В теории зацепления прямую называют производящей (образующей), а окружность – основной окружностью (радиус r_b).

Рассмотрим построение эвольвенты Е (рис. 7.3). В произвольной точке эвольвенты М проведем нормаль, которая касается основной окружности в точке В, получаем радиус кривизны эвольвенты r.

Рис. 7.3

Из прямоугольного треугольника DОВМ найдем катет МВ:

.

Из условия образования эвольвенты радиус кривизны МВ должен быть равен длине развертываемой дуги АВ основной окружности:

È АВ = r_b×(q+a),

,

где q - полярный угол наклона радиус вектора; - угол между направлением радиус вектора и направлением радиуса основной окружности проведенного в точке касания нормали.

Отсюда:

.

Разность тангенса и угла представляет собой эвольвентную функцию называемую инволютой. Инволюта является параметром для геометрических расчетов зубчатых механизмов.

Свойства эвольвенты:

- эвольвента не имеет точек внутри основной окружности;

- нормаль к любой точке эвольвенты направлена по касательной к основной окружности;

- центр кривизны эвольвенты лежит в точке касания нормали с основной окружностью.