Связь кинематических и передаточных функций

Линейные скорости и ускорения

u _L = dS_L / dt = (dS_L / d _× d ₁/ dt) = u _qL × ₁;

a_L = d (u _{q l} × ₁)/ dt = (d u _qL / d ₁)×(d _ dt)×₁ + u _qL ×  ₁ = a_{q L}× ₁² + u _qL × ₁;

Угловые скорости и ускорения

 _i = d  _i / dt = (d  _i / d _× d ₁/ dt) = _{q i} × ₁;

 _i = d (_{q i} ×₁)/ dt = (d  _i / d ₁)×(d ₁/ dt)×₁ + _{q i} × ₁ =  _qi × ₁² +  _qi ×  _{i .}

Так как данные формулы получены как производные от скалярных величин, то при операциях с векторными величинами они применимы только для проекций этих величин на оси координат.

Аналитические методы кинематического анализа

Метод проекций векторного контура (рычажные механизмы)

Рассмотрим простейший кулисный механизм (рис. 3.5).

Рис. 3.5

Заменим кинематическую схему механизма эквивалентным векторным контуром. Тогда уравнение замкнутости векторного контура запишется

Задача о положениях звеньев механизма

Проецируем векторный контур на оси координат и получаем координаты точки В механизма:

x_B = l _AB × cos (₁) = l _AD× cos () + l _DB × cos (₃);

y_B = l _AB × sin (_) = l _AD× sin ( l _DB × sin (_

из решения этой системы уравнений определяем неизвестные величины ₃ и l _DB, которые определяют положение звеньев и точек механизма

tg (₃) = sin (_/ cos (₃) = l _AB × sin (_) (l _AB × cos (₁) - l _AD× cos ());

l _DB = (l _AB × sin (_)) / sin (_

Задача о первых кинематических передаточных функциях механизма

Продифференцируем уравнения проекций векторного контура по обобщенной координате и получим

u _{q Bx} = - l _AB × sin (_u _{q DB} × cos (₃) - l _DB ×  _{q 3} × sin (₃);

u _{q By} = l _AB × cos (_u _{q DB} × sin (₃) + l _DB ×  _{q 3} × cos (₃).

Из этой системы уравнений определяем первые передаточные функции u _{q B} и  _{q 3}.

Задача о вторых передаточных функциях механизма

Вторично продифференцируем уравнения проекций векторного контура по обобщенной координате и получим

a_{q Bx}= - l _AB×cos (₁) = a_{q DB}×cos (₃) -2×u _{q DB}×_q×sin (_) - l _DB× _{q 3}×sin (_ -

- l _DB× _{q }^×cos (₃);

a_{q By} = - l _AB × sin (₁) = a_{q DB} × sin (₃) + 2 × u _{q DB} ×  _{q }×cos (_) + l _DB × _{q 3} × cos (_ - l _DB ×  _{q }^× sin (₃);

Из этой системы уравнений определяем вторые передаточные функции a_{q B} и  _{q 3}.

Для кинематического анализа результаты целесообразнее представлять в виде кинематических диаграмм.

Диаграмма функции положения 3,рад     0  1,рад   Диаграмма первой передаточной функции  q 3, рад/с   0  1,рад     Диаграмма второй передаточной функции  q 3, с-2   0  1,рад   Рис. 3.6

Цикловые кинематические (геометрические) диаграммы для кулисного механизма (рис. 3.6).

Циклом называется период времени или изменения обобщенной координаты по истечении, которого все параметры системы принимают первоначальные значения. Поэтому значения величин в начале и в конце цикла одинаковы.

Метод центроид (зубчатые передачи) рис. 3.7

Центроидой (полоидой) называется геометрическое место центров (полюсов) относительного вращения в системах координат связанных со звеньями механизма. В зубчатом механизме при передаче движения центроиды колес перекатываются друг по другу без скольжения.

Повернем ведущее колесо на малый угол d₁, тогда ведомое колесо повернется на угол d_Так как центроиды или начальные окружности колес перекатываются друг по другу без скольжения, то дуга dS_w1 будет равна дуге dS_w2. Тогда можно записать следующее равенство

,

где dS _w1 = r _w1 ×  d _ d S_w2 = r _w2 ×  d _

Откуда

i ₂₁ = d ₂/ d ₁ = r _w1/r_w2 = const.

Функция положения для выходного звена зубчатой передачи

d ₂= i ₂₁ × d ₁ , откуда .

2 1 02 P o1 d2 d r w1 r w2  dSw1 = dSw2 = dSw Рис. 3.7. Схема зубчатого механизма

Вторая передаточная функция для выходного_звена зубчатой передачи

 _{q 2} = d i ₂₁/ d _

Диаграмма функции положения 3, рад   0  1,рад Диаграмма первой передаточной функции  q 2, рад/с     0  1,рад Диаграмма второй передаточной функции  q 2, с-2   0  1,рад Рис. 3.8

Механизм зубчатой передачи не является цикловым механизмом, так как угловое перемещение выходного звена увеличивается при увеличении углового перемещения входного. Поэтому кинематические диаграммы принято строить для одного оборота входного звена (рис 3.8)._

Диаграммы функции положения и передаточных функций для зубчатой передачи.