Аксиоматическое определение

Проективное пространство может быть также определено системой аксиом типа гильбертовской. В этом случае проективное пространство определяется как система, состоящая из множества точек P, множества прямых L и отношения инцидентности I, которое обычно выражается словами «точка лежит на прямой», удовлетворяющая следующим аксиомам:

· Для любых двух различных точек существует единственная прямая, инцидентная обоим точкам;

· Каждая прямая инцидентна не менее чем трём точкам;

· Если прямые L и M пересекаются (имеют общую инцидентную точку), точки p и q лежат на прямой L, а точки s и r — на прямой M, то прямые ps и qr пересекаются.

Подпространством проективного пространства называется подмножество T множества P, такое что для любых из этого подмножества все точки прямой принадлежат T. Размерностью проективного пространства P называется наибольшее число n, такое что существует строго возрастающая цепочка подпространств вида

Классификация

· Размерность 0: пространство состоит из единственной точки.

· Размерность 1: произвольное непустое множество точек и единственная прямая, на которой лежат все эти точки.

· Размерность 2 (проективная плоскость): в этом случае классификация является более сложной. Все плоскости вида для некоторого тела удовлетворяют аксиоме Дезарга, однако существуют также недезарговы плоскости (англ.).

· Большие размерности: согласно теореме Веблена — Юнга,^[1] любое проективное пространство размерности более двух может быть получено как проективизация модуля над некоторым телом.