Методы расчета электродинамических усилий

Основы теории электрических аппаратов.

Электродинамические усилия в электрических аппаратах 1.1. Общие сведения

Электродинамические усилия (ЭДУ) возникают в результате взаимодействия проводников с токами. На основе использования ЭДУ построен ряд электрических аппаратов, напри­мер быстродействующие автоматические выключатели, а также быстродействующие электродина­мические приводы аппаратов, в которых ЭДУ играют функциональную роль. Наряду с этим ЭДУ приобретают особо важное значение при определении электродинамической стойкости электрических аппаратов.

При коротком замыкании в сети через токоведущую часть ап­парата могут протекать токи, в десятки раз превышающие номи­нальные. Эти токи, взаимодействуя с магнитным полем, создают электродинамические усилия (ЭДУ), которые стремятся дефор­мировать проводники и изоляторы, на которых они крепятся. В некоторых случаях величина ЭДУ может достигать сотни килоньютон, при этом возможно даже разрушение аппарата.

Методы расчета электродинамических усилий

Для определения ЭДУ используются два метода.

В первом методе сила рассматривается как резуль­тат взаимодействия проводника с током и магнитным полем. Если элементарный проводник dl с током i находится в магнитном поле с индукцией , создаваемой другими проводниками, то сила , действующая на этот элемент, равна

(1.1)

где (β — угол между векторами элемента и индукции . За на­правление принимается направление тока в этом элементе.

Направление индукции, создаваемой проводником, легко найти с помощью правила буравчика. Если винт буравчика движется вдоль тока в проводнике, то направление вращения рукоятки совпа­дает с направлением магнитной силовой линии, т.е. с вектором индукции.

Направление силы можно определить по правилу левой руки. Для этого левую руку располагают так, чтобы вектор индукции пронизывал ладонь, а направление тока в проводнике совпадало с четырьмя вытянутыми пальцами. Тогда направление силы будет указывать большой палец (рис. 1.1).

Правило буравчика можно использовать и для определения направления результирующего вектора [ dl В ], следовательно, и направления силы.

Если рукоятку штопора вращать от вектора к вектору по кратчайшему расстоянию, то направление движения винта што­пора совпадает с направлением силы, действующей па элемент с током dl.

Для определения полной силы, действующей на проводник длиной l, необходимо

просуммировать силы, действующие на все его элементы:

Рис. 1.1 Правило левой руки для определения на­правления действия электро­динамической силы

(1.2)

В случае любого расположения про­водников в одной плоскости уравнение (2) упрощается:

(1.3)

Описанный метод рекомендуется при­менять тогда, когда можно аналитически найти индукцию в любой точке провод­ника, для которого необходимо опреде­лить силу.

Второй метод определения ЭДУ основан на использовании энер­гетического баланса системы проводни­ков с током.

Если пренебречь электростатической энергией системы и при­нять, что при деформации токоведущих контуров или их переме­щении под действием ЭДУ величина тока во всех контурах оста­ется неизменной, то силу можно найти по уравнению

(1.4)

где А — электромагнитная энергия;

х — возможное перемещение в направлении действия силы F.

Таким образом, сила равна частной производной от электро­магнитной энергии данной системы по координате, в направлении которой действует сила.

Электромагнитная энергия системы обусловлена как энергией магнитного поля каждого изолированного контура, так и энер­гией, определяемой магнитной связью между контурами.

Для системы трех взаимосвязанных контуров электромагнит­ная энергия

(1.5)

Здесь — индуктивности контуров;

— токи в контурах;

— взаимоиндуктивности между контурами.

Первые три члена уравнения определяют энергию независимых контуров, вторые три члена характеризуют энергию, обусловлен­ную магнитной связью.

Уравнение (1.5) дает возможность рассчитать как силы, дей­ствующие в изолированном контуре, так и силу взаимодействия этого контура со всеми остальными.

При коротком замыкании величина тока в цепи не зависит от незначительных деформаций токоведущих контуров или от изме­нения расстояния между ними, возникающих под действием ЭДУ Поэтому при нахождении сил с помощью уравнения (1.5) можно считать, что величина тока не меняется, а сила возникает в резуль­тате изменения индуктивности или взаимоиндуктивности.

Для определения сил внутри одного контура пользуются урав­нением

(1.6)

где х — координата, в направлении которой действует сила F.

При расчете силы, действующей между контурами, мы считаем, что энергия меняется только в результате возможного изменения взаимного расположения контуров. При этом энергия, обусловленная собствен­ной индуктивностью, считается неиз­менной:

(1.7)

Энергетическим методом очень удобно пользоваться тогда, когда известна ана­литическая зависимость индуктивности или взаимоиндуктивности от геометри­ческих параметров.

Этот метод позволяет легко найти на­правление ЭДУ. Из уравнения (1.4) следует, что положительному направле­нию силы F соответствует возрастание энергии системы т. е. деформа­ция контура или его перемещение происходит под действием силы таким образом, чтобы электромагнитная энергия системы воз­растала.

Электромагнитная энергия одного контура

(1.8)

где — потокосцепление;

— магнитный поток;

— число витков в контуре.

Сила, действующая в контуре, будет направлена таким обра­зом, чтобы индуктивность, потокосцепление и поток при деформа­ции контура под действием этой силы возрастали.

Возьмем для примера круговой виток рис. 1.2. Если , то индуктивность витка достаточно точно выражается уравнением

(1.9)

При протекании тока возникает сила, стремящаяся увеличить радиус витка, поскольку с ростом R растет индуктивность L, а следовательно, увеличивается и электромагнитная энергия систе­мы:

(1.10)

С ростом радиуса возрастает потокосцепление данного контура при условии, что ток в цепи не меняется.

Рис. 1.2. Силы, возникаю­щие в круговом витке, обте­каемом током